Exercice 31

1. Les coefficients sont $(2\,;-1)$ et $(1\,;1)$ : $$ab'-a'b=2\times 1-1\times(-1)=3\neq 0 \qquad \Longrightarrow \qquad \boxed{d_{1} \text{ et } d_{2} \text{ sont sécantes}}$$ On résout ensuite : $$\left\{\begin{array}{ll} 2x-y+1=0 & \textcircled{e_{1}} \\ x+y-4=0 & \textcircled{e_{2}} \end{array}\right.$$ Les coefficients de $y$ sont opposés : on effectue $\textcircled{e_{1}}+ \textcircled{e_{2}}$. $$\begin{aligned} (2x-y+1)+(x+y-4) &= 0 \\ 3x-3 &= 0 \\ x &= 1 \end{aligned}$$ On reporte dans $\textcircled{e_{2}}$ : $1+y-4=0$, donc $y=3$. $$\boxed{I(1\,;3)}$$

2. Les trois droites sont concourantes si $d_{3}$ passe par $I$. On injecte donc les coordonnées de $I$ dans l'équation de $d_{3}$ : $$3\times 1-2\times 3+m=0 \iff 3-6+m=0 \iff \boxed{m=3}$$

3. Pour $m=0$, l'équation de $d_{3}$ est $3x-2y=0$. On résout avec $d_{1}$ : $$\left\{\begin{array}{ll} 2x-y+1=0 & \textcircled{e_{1}} \\ 3x-2y=0 & \textcircled{e_{2}} \end{array}\right.$$ On effectue $2\times \textcircled{e_{1}}- \textcircled{e_{2}}$ : $$\begin{aligned} 2(2x-y+1)-(3x-2y) &= 0 \\ 4x-2y+2-3x+2y &= 0 \\ x+2 &= 0 \\ x &= -2 \end{aligned}$$ On reporte dans $\textcircled{e_{1}}$ : $-4-y+1=0$, donc $y=-3$. Le point d'intersection est $J(-2\,;-3)$. On vérifie s'il appartient à $d_{2}$ : $$-2+(-3)-4=-9\neq 0$$

4. Les trois droites sont deux à deux sécantes, mais ne passent pas par un même point : elles se coupent donc en trois points distincts. $$\boxed{\text{Pour } m=0, \text{ les trois droites délimitent un triangle}}$$

5. Voici la figure pour $m=0$.

Le triangle est très aplati, ce qui explique pourquoi une lecture graphique seule aurait pu laisser croire que les trois droites étaient concourantes : seul le calcul permet de trancher.