Exercice 30

1. Voici la figure.

2. On calcule les deux vecteurs : $$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}2-(-2)\\1-(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix} \qquad ; \qquad \overrightarrow{DC}\begin{pmatrix}4-0\\5-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}$$

3. $(AB)$ : vecteur directeur $\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}$, d'où $2x-4y+c=0$. Avec $A(-2\,;-1)$ : $-4+4+c=0$, donc $c=0$. $$2x-4y=0 \qquad \text{soit} \qquad \boxed{x-2y=0}$$ $(DC)$ : même vecteur directeur, d'où $2x-4y+c=0$. Avec $D(0\,;3)$ : $-12+c=0$, donc $c=12$. $$2x-4y+12=0 \qquad \text{soit} \qquad \boxed{x-2y+6=0}$$ Critère : $(a\,;b)=(1\,;-2)$ et $(a'\,;b')=(1\,;-2)$, donc $ab'-a'b=1\times(-2)-1\times(-2)=0$. $$\boxed{\text{Les droites } (AB) \text{ et } (DC) \text{ sont bien parallèles}}$$

4. $\overrightarrow{AD}\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}$, d'où $4x-2y+c=0$. Avec $A$ : $-8+2+c=0$, donc $c=6$. $$4x-2y+6=0 \qquad \text{soit} \qquad \boxed{2x-y+3=0}$$ $\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}$ également, d'où $2x-y+c=0$. Avec $B(2\,;1)$ : $4-1+c=0$, donc $c=-3$. $$\boxed{2x-y-3=0}$$ Critère : $2\times(-1)-2\times(-1)=0$. $$\boxed{\text{Les droites } (AD) \text{ et } (BC) \text{ sont bien parallèles}}$$

5. $$\text{milieu de } [AC] : \left(\frac{-2+4}{2}\,;\frac{-1+5}{2}\right)=(1\,;2)$$

6. $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}6\\6\end{pmatrix}$, d'où $6x-6y+c=0$. Avec $A(-2\,;-1)$ : $-12+6+c=0$, donc $c=6$. $$6x-6y+6=0 \qquad \text{soit} \qquad \boxed{x-y+1=0}$$ Vérification avec $I(1\,;2)$ : $1-2+1=0$. $$\boxed{I \text{ appartient bien à la diagonale } (AC)}$$