Exercice 22

1. $$\frac{1}{-1}=-1 \qquad \text{et} \qquad -1\leqslant 2$$

2. L'ensemble trouvé par Julie est $\left[\dfrac{1}{2}\,;+\infty\right[$, or $-1<\dfrac{1}{2}$ : $$\boxed{-1 \text{ n'appartient pas à l'ensemble trouvé par Julie}}$$ Sa méthode a donc perdu des solutions : elle est nécessairement fausse.

3. Julie a multiplié les deux membres par $x$, sans connaître le signe de ce nombre. Or la propriété 1 du cours distingue deux cas :

• si $x>0$, le sens de l'inégalité est conservé et l'on obtient bien $1\leqslant 2x$ ;

• si $x<0$, le sens change et l'on obtient $1\geqslant 2x$.

$$\boxed{\text{La règle oubliée est le changement de sens lors d'une multiplication par un nombre négatif}}$$ Comme $x$ est l'inconnue, son signe n'est pas connu : on ne peut pas trancher entre les deux cas.

4. La résolution correcte, menée à la question 3 de l'exercice 21, donne : $$S=\left]-\infty\,;0\right[\cup\left[\frac{1}{2}\,;+\infty\right[$$ Julie n'a trouvé que la seconde partie, celle qui correspond au cas $x>0$. Il lui manque tout l'intervalle $\left]-\infty\,;0\right[$, qui correspond au cas $x<0$.

5. $$\boxed{\begin{array}{l} \text{« Ne multiplie jamais une inéquation par une expression contenant } x. \text{ Son signe} \\[1mm] \text{dépend de } x \text{, donc tu ne sais pas si le sens de l'inégalité doit changer. Ramène} \\[1mm] \text{plutôt tout d'un même côté, réduis au même dénominateur, puis fais un tableau} \\[1mm] \text{de signes : c'est la seule méthode qui traite tous les cas d'un coup. »} \end{array}}$$