Exercice 29 Vrai ou faux

1. Fausse. Contre-exemple : $x^{2}<0$ n'admet aucune solution, et $(x-1)^{2}\leqslant 0$ n'en admet qu'une seule, $x=1$.

2. Fausse. Multiplier par $-1$ change le sens : si $a<b$, alors $-a>-b$. Contre-exemple avec $a=2$ et $b=5$ : on a bien $2<5$, mais $-2>-5$.

3. Vraie. C'est la première règle de la propriété 1 : ajouter un même nombre aux deux membres ne change pas le sens.

4. Vraie. C'est la deuxième règle : $3$ étant strictement positif, le sens est conservé.

5. Fausse. Une fonction affine constante, comme $f(x)=3$, ne change jamais de signe. Ce n'est que lorsque $m\neq 0$ que la fonction change de signe une fois exactement.

6. Vraie. C'est la règle des signes : $(-a)\times(-b)=ab$, qui est positif si $a$ et $b$ le sont.

7. Fausse. Il faut aussi que le quotient existe, donc que $B\neq 0$. L'implication est correcte lorsque le quotient est défini, mais l'énoncé ne le précise pas : pour $A=B=0$, le quotient n'a aucun sens.

8. Fausse. La valeur $-1$ annule le dénominateur : c'est une valeur interdite, elle ne peut donc jamais appartenir à l'ensemble des solutions.

9. Vraie. Un carré est toujours positif ou nul, donc tout réel convient : $S=\mathbb{R}$.

10. Fausse. C'est exactement l'erreur analysée à l'exercice 22 : le signe de $x$ étant inconnu, on ne sait pas si le sens de l'inégalité doit changer.