Exercice 37

1. Les $n$ dés sont indépendants, et chacun donne un $6$ avec la probabilité $\dfrac{1}{6}$. La probabilité qu'ils donnent tous un $6$ est donc le produit de $n$ facteurs égaux à $\dfrac{1}{6}$ : $$\boxed{\left(\frac{1}{6}\right)^n=\frac{1}{6^n}}$$

2. Les $N_n$ lancers sont des épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, de succès « les $n$ dés donnent tous un $6$ », de probabilité $\dfrac{1}{6^n}$. Ainsi : $$\boxed{X_n\sim\mathcal{B}\left(4\times 6^{n-1}\,;\frac{1}{6^n}\right)}$$ D'après la formule donnant l'espérance d'une loi binomiale : $$E(X_n)=4\times 6^{n-1}\times\frac{1}{6^n}=\frac{4}{6} \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{E(X_n)=\frac{2}{3} \text{ pour tout } n\geqslant 1}$$ La « règle de proportion » conserve donc bien quelque chose : le nombre moyen de succès, qui reste égal à $\dfrac{2}{3}$ quel que soit le nombre de dés.

3. L'événement $(X_n\geqslant 1)$ est le contraire de $(X_n=0)$ : $$\boxed{p_n=1-\left(1-\frac{1}{6^n}\right)^{4\times 6^{n-1}}}$$ Pour $n=1$ et $n=2$, on retrouve les deux paris de l'exercice 32 : $$p_1=1-\left(\frac{5}{6}\right)^4\approx 0{,}5177 \qquad\text{et}\qquad p_2=1-\left(\frac{35}{36}\right)^{24}\approx 0{,}4914 \quad\checkmark$$

4. À la calculatrice, on obtient les valeurs suivantes :

5. On calcule la limite admise : $$\boxed{1-\mathrm{e}^{-2/3}\approx 0{,}4866}$$ Dès $n=2$, on a $p_n<\dfrac{1}{2}$ : le pari est défavorable au joueur, et, d'après la conjecture de la question 4, il le devient même un peu plus lorsque $n$ augmente. La règle de proportion ne sauve donc pas le chevalier de Méré.

6. Le chevalier de Méré raisonnait comme si la probabilité d'obtenir au moins un succès ne dépendait que du nombre moyen de succès. Or deux variables aléatoires de même espérance peuvent avoir des lois différentes : les variables $X_n$ ont toutes la même espérance $\dfrac{2}{3}$, mais les probabilités $P(X_n=0)$, et donc $p_n$, varient avec $n$. $$\boxed{\text{L'espérance ne suffit pas à déterminer } P(X\geqslant 1) \text{ : il faut connaître la loi.}}$$

Remarque. La limite $1-\mathrm{e}^{-2/3}$ n'a rien d'un hasard : lorsque le nombre d'épreuves est grand et la probabilité de succès petite, avec une espérance $\lambda$ fixée, $P(X=0)$ se rapproche de $\mathrm{e}^{-\lambda}$. C'est le point de départ de la loi de Poisson, étudiée après le baccalauréat ; ici $\lambda=\dfrac{2}{3}$.