Exercice 6

1. Le motif se répète tous les $\pi$ : par exemple, la courbe atteint son maximum en $0$, puis de nouveau en $\pi$. $$\boxed{\text{La période vaut } \pi}$$ Or la période de $x\mapsto\cos(bx)$ vaut $\dfrac{2\pi}{b}$, d'où $\dfrac{2\pi}{b}=\pi$ : $\boxed{b=2}$

2. La courbe oscille entre $-3$ et $3$ : $$\boxed{\text{maximum } 3 \quad ; \quad \text{minimum } -3 \quad ; \quad a=3}$$

3. $$\boxed{f(x)=3\cos(2x)}$$

4. Le maximum $3$ est atteint lorsque $\cos(2x)=1$, ce que la courbe montre en $0$, $\pi$ et $2\pi$. Le minimum $-3$ correspond à $\cos(2x)=-1$ : $$\boxed{\text{maximum en } x=0,\ \pi,\ 2\pi \quad ; \quad \text{minimum en } x=\frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}}$$

5. La courbe coupe l'axe des abscisses quatre fois sur $[0\,;2\pi]$. Par le calcul : $$3\cos(2x)=0 \iff \cos(2x)=0 \iff 2x=\frac{\pi}{2}+k\pi \iff x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}$$ En ne gardant que les valeurs de $[0\,;2\pi]$ : $$\boxed{S=\left\{\frac{\pi}{4}\,;\frac{3\pi}{4}\,;\frac{5\pi}{4}\,;\frac{7\pi}{4}\right\}}$$

6. Graphiquement, la courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Par le calcul : $$f(-x)=3\cos(-2x)=3\cos(2x)=f(x)$$