Feuille d'exercicesTerminale, chapitre 9

Fonctions trigonométriques

42 exercices corrigés · 10   21   8   3

Périodicité, parité et valeurs remarquables

• Exercice 1 Donner la valeur exacte de chacun des nombres suivants, en s'aidant du cercle trigonométrique. a) cos (π/3) b) sin (π/4) c) cos (2π/3) d) sin (5π/6)…
• Exercice 2 En utilisant la périodicité, ramener chacun des réels suivants à un réel de ]-π;π ], puis donner la valeur exacte demandée. a) cos (13π/3) b) sin…
• Exercice 3 Déterminer si chacune des fonctions suivantes, définies sur ℝ, est paire, impaire, ou ni l'une ni l'autre. Justifier par le calcul de f(-x). a)…
• Exercice 4 1. Démontrer que la fonction f définie sur ℝ par f(x)=cos (3x) est périodique de période 2π/3. 2. Démontrer de même que g:x↦sin (x/2) est périodique…
• Exercice 5 1. Soit x un réel tel que cos (x)= 3/5 et x∈ [0; π/2 ]. Déterminer la valeur exacte de sin (x). 2. Soit x un réel tel que sin (x)=- 2/3 et x∈ [-…

Lecture graphique

• Exercice 6 Ci-dessous est tracée la courbe C d'une fonction f définie sur ℝ, dont l'expression est de la forme f(x)=acos (bx) avec a>0 et b>0. 1. Lire…
• Exercice 7 Sur le graphique ci-dessous sont tracées quatre courbes, représentant dans le désordre les fonctions définies sur ℝ par: x↦sin (x); x↦ 2sin (x);…
• Exercice 8 Ci-dessous est tracée la courbe de la fonction cosinus sur [-2π;2π], ainsi que les droites d'équations y= 1/2 et y=- (√2)/2. 1. Résoudre…
• Exercice 9 On considère une fonction f définie sur ℝ, paire et périodique de période 2π. Sa courbe n'est représentée ci-dessous que sur l'intervalle [0;π]. 1.…

Dérivation et primitives

• Exercice 10 Déterminer la dérivée de chacune des fonctions suivantes, définies sur ℝ. a) f(x)=3sin (x) b) f(x)=cos (x)-2x c) f(x)=5cos (x)+sin (x) d)…
• Exercice 11 Même consigne, en utilisant la proposition 4 du cours. a) f(x)=sin (3x) b) f(x)=cos (2x-1) c) f(x)=sin (x/2) d) f(x)=cos (x^2) e) f(x)=sin (x^3+x)…
• Exercice 12 Déterminer la dérivée de chacune des fonctions suivantes, en précisant la formule utilisée (produit, quotient ou composée). a) f(x)=xcos (x) b)…
• Exercice 13 Dans chaque cas, déterminer une équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a. a) f(x)=sin (x) et a=0 b) f(x)=cos (x) et a=0 c)…
• Exercice 14 Déterminer les limites suivantes, en se ramenant à la proposition 3 du cours. a) lim _(x→ 0) (sin (5x))/x b) lim _(x→ 0) (sin (x))/3x c) lim _(x→ 0)…
• Exercice 15 Le cours donne sin '=cos et cos '=-sin: en lisant ces formules à l'envers, on obtient des primitives. Déterminer une primitive de chacune des…
• Exercice 16 Calculer les intégrales suivantes. On donnera des valeurs exactes. a) ∫_0^ π/2 cos (x) dx b) ∫_0^πsin (x) dx c) ∫_0^ π/2 sin (2x) dx d) ∫_- π/2 ^…

Étude et représentation graphique

• Exercice 17 1. Déterminer le signe de cos (x) sur [0;2π], puis dresser le tableau de signes correspondant. 2. Faire de même pour sin (x) sur [0;2π]. 3. En…
• Exercice 18 1. Soit f la fonction définie sur [0;2π] par f(x)=3sin (x). (a) Calculer f'(x) et étudier son signe sur [0;2π]. (b) Dresser le tableau de variations…
• Exercice 19 Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x)=cos (2x). 1. Démontrer que f est périodique de période π. 2. Démontrer que f est paire. 3. En déduire…
• Exercice 20 On considère les quatre fonctions définies sur ℝ par: f(x)=sin (x); g(x)=3sin (x); h(x)=sin (3x); k(x)=sin (x)-2 1. Pour chacune, déterminer le…
• Exercice 21 Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x)=2cos (x)+cos (2x). 1. Démontrer que f est paire et périodique de période 2π. En déduire l'intervalle…
• Exercice 22 Une fonction f, définie sur ℝ, est impaire et périodique de période 2π. Son tableau de variations sur [0;π] est le suivant. 1. Que valent f(0), f…

Exercices de synthèse

• Exercice 23 · QCM Pour chaque question, une seule réponse est exacte. La justifier.
• Exercice 24 · Vrai ou faux Chacune des affirmations suivantes est-elle vraie ou fausse ? Justifier la réponse: par une démonstration si l'affirmation est vraie, par un…
• Exercice 25 · Type Bac Soit f la fonction définie sur [0;2π] par f(x)=x+cos (x). 1. Calculer f'(x). 2. Démontrer que f'(x)≥ 0 pour tout x de [0;2π], et préciser la seule…
• Exercice 26 · Type Bac Dans un port, la hauteur d'eau, exprimée en mètres, est modélisée par la fonction h définie sur [0;24] par: h(t)=5+3sin ((π t)/6) où t désigne le…
• Exercice 27 · Type Bac Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x)=sin ^2(x). 1. Démontrer que f est paire. 2. Démontrer que f est périodique de période π. On pourra…
• Exercice 28 · Type Bac On note C la courbe de la fonction sinus et D le domaine du plan compris entre C, l'axe des abscisses et les droites d'équations x=0 et x=π. 1.…
• Exercice 29 Résoudre sur l'intervalle [0;2π] les équations et inéquations suivantes. On pourra s'aider du cercle trigonométrique ou d'une courbe. a) cos (x)=…
• Exercice 30 L'objectif est de démontrer l'inégalité sin (x)≤ x pour tout réel x≥ 0, puis d'en mesurer la qualité. Partie A: la démonstration. Soit g la fonction…
• Exercice 31 Le cours démontre que sin '=cos. L'objectif est d'en déduire la dérivée du cosinus sans refaire tout le calcul. 1. Rappeler pourquoi, pour tout réel…
• Exercice 32 Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x)=sin (x)cos (x). 1. Démontrer que f est impaire. 2. Démontrer que f'(x)=cos (2x). On pourra utiliser…
• Exercice 33 Soit k un réel. On s'intéresse au nombre de solutions de l'équation cos (x)=k sur l'intervalle [0;2π]. 1. Tracer la courbe de la fonction cosinus…
• Exercice 34 Soit f la fonction définie par: f(x)= (-cos (2x))/(3+2sin (x)) L'objectif de cet exercice est de tracer sa courbe représentative. Partie A:…

Pour aller plus loin

• Exercice 35 Déterminer le maximum et le minimum sur ℝ de la fonction x↦cos (x)-cos ^2(x).
• Exercice 36 Trouver les fonctions f dérivables sur ℝ telles que, pour tout réel x, f'(x)+3f(x)=sin (x). On cherchera une solution particulière de la forme x↦…
• Exercice 37 Périodicité d'une somme. Une fonction f définie sur ℝ est dite périodique s'il existe un réel T>0 tel que f(x+T)=f(x) pour tout réel x. 1. Soient f…
• Exercice 38 On rappelle que, pour tout réel a, cos (2a)=2cos ^2(a)-1=1-2sin ^2(a) et sin (2a)=2sin (a)cos (a). 1. Montrer que, pour tout réel x, 2cos (2x)+4cos…
• Exercice 39 Soit α l'unique élément de [0;π] tel que cos (α)= (√5-1)/4. On rappelle que, pour tout réel a, cos (2a)=2cos ^2(a)-1. 1. Calculer cos (2α), puis cos…
• Exercice 40 Montrer que, pour tout réel x: cos (sin (x))>sin (cos (x))
• Exercice 41 Une formule de Viète. Partie A: radicaux itérés. Pour tout entier n≥ 1, on note u_n le nombre formé de n radicaux: u_n=√(2+√(2+√(2+…+√2))) de sorte…
• Exercice 42 Les intégrales de Wallis. Pour tout entier naturel n, on pose W_n=∫_0^ π/2 cos ^n(t) dt 1. Calculer W_0 et W_1. 2. À l'aide d'une intégration par…