Exercice 26 Type Bac

1. $$h(0)=5+3\sin(0)=\boxed{5 \text{ m}}$$

2. Pour tout $t$ : $$h(t+12)=5+3\sin\left(\frac{\pi(t+12)}{6}\right) =5+3\sin\left(\frac{\pi t}{6}+2\pi\right)=h(t)$$

3. Avec $u(t)=\dfrac{\pi t}{6}$ et $u'(t)=\dfrac{\pi}{6}$ : $$h'(t)=3\times\frac{\pi}{6}\cos\left(\frac{\pi t}{6}\right) =\boxed{\frac{\pi}{2}\cos\left(\frac{\pi t}{6}\right)}$$ Sur $[0\,;12]$, le réel $\dfrac{\pi t}{6}$ décrit $[0\,;2\pi]$. Le cosinus y est positif pour $\dfrac{\pi t}{6}<\dfrac{\pi}{2}$, c'est-à-dire $t<3$, puis négatif jusqu'à $\dfrac{\pi t}{6}=\dfrac{3\pi}{2}$, soit $t=9$, puis à nouveau positif.

4.

5. $$5+3\sin\left(\frac{\pi t}{6}\right)\geqslant 6{,}5 \iff \sin\left(\frac{\pi t}{6}\right)\geqslant\frac{1}{2}$$ Posons $X=\dfrac{\pi t}{6}$, qui décrit $[0\,;2\pi]$ lorsque $t$ décrit $[0\,;12]$. On sait que $\sin(X)\geqslant\dfrac{1}{2}$ pour $X\in\left[\dfrac{\pi}{6}\,; \dfrac{5\pi}{6}\right]$, d'où : $$\frac{\pi}{6}\leqslant\frac{\pi t}{6}\leqslant\frac{5\pi}{6} \iff 1\leqslant t\leqslant 5$$

6. La période valant $12$ heures, le phénomène se reproduit à l'identique entre $12$ h et minuit : $$\boxed{\text{Le port est accessible de } 1 \text{ h à } 5 \text{ h, puis de } 13 \text{ h à } 17 \text{ h}}$$ Soit huit heures d'accès par jour.