Exercice 27 Type Bac

1. $$f(-x)=\sin^{2}(-x)=\left(-\sin(x)\right)^{2}=\sin^{2}(x)=f(x)$$

$$\boxed{f \text{ est paire}}$$ Le carré efface le signe : une fonction impaire élevée au carré devient paire.

2. Pour tout réel $x$ : $$f(x+\pi)=\sin^{2}(x+\pi)=\left(-\sin(x)\right)^{2}=\sin^{2}(x)=f(x)$$

3. La périodicité permet de se limiter à un intervalle de longueur $\pi$, par exemple $\left[-\dfrac{\pi}{2}\,;\dfrac{\pi}{2}\right]$, et la parité de le réduire de moitié. $$\boxed{\text{Il suffit d'étudier } f \text{ sur } \left[0\,;\frac{\pi}{2}\right]}$$

4. On dérive la composée $f=u^{2}$ avec $u=\sin(x)$ : $$f'(x)=2\sin(x)\cos(x)=\boxed{\sin(2x)}$$

5. Sur $\left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right]$, le réel $2x$ décrit $[0\,;\pi]$, où le sinus est positif.

6.

La courbe reste au-dessus de l'axe des abscisses, ce qui est logique puisque $f$ est un carré.

7. On part de l'identité $\cos(2x)=1-2\sin^{2}(x)$, vue en Première. En isolant $\sin^{2}(x)$ : $$2\sin^{2}(x)=1-\cos(2x) \qquad \text{d'où} \qquad \boxed{f(x)=\frac{1-\cos(2x)}{2}}$$

$$\boxed{\text{Oui, ce résultat était prévisible}}$$ En effet, la question 2 a établi que $f$ est $\pi$-périodique, ce qui est la période de $x\mapsto\cos(2x)$ ; et la question 5 montre que $f$ oscille entre $0$ et $1$, ce qui est exactement l'amplitude de $\dfrac{1-\cos(2x)}{2}$. La courbe de $f$ n'est donc qu'une sinusoïde, remontée d'une demi-unité et d'amplitude divisée par deux.