Exercice 28 Type Bac

1. Pour $x\in[0\,;\pi]$, le point du cercle trigonométrique associé à $x$ se situe au-dessus de l'axe horizontal : son ordonnée est positive. $$\boxed{\sin(x)\geqslant 0 \text{ sur } [0\,;\pi]}$$

2. La fonction étant continue et positive sur $[0\,;\pi]$, l'aire du domaine situé sous sa courbe est donnée par l'intégrale : $$\mathcal{A}=\int_{0}^{\pi}\sin(x)\,\mathrm{d}x=\Big[-\cos(x)\Big]_{0}^{\pi} =1+1=\boxed{2 \text{ unités d'aire}}$$

3. $$\int_{0}^{2\pi}\sin(x)\,\mathrm{d}x=\Big[-\cos(x)\Big]_{0}^{2\pi}=-1+1=\boxed{0}$$

$$\boxed{\text{Non, ce nombre ne représente pas une aire}}$$ Sur $[\pi\,;2\pi]$, la fonction est négative : l'intégrale y compte l'aire négativement. Les deux morceaux, de même aire $2$, se compensent donc exactement.

4. Il suffit d'additionner les deux aires, chacune comptée positivement : $$\boxed{\mathcal{A}_{\text{totale}}=2+2=4 \text{ unités d'aire}}$$ On peut aussi écrire $\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\left|\sin(x)\right|\,\mathrm{d}x=4$.

5. $$\mu=\frac{1}{\pi-0}\int_{0}^{\pi}\sin(x)\,\mathrm{d}x=\frac{2}{\pi}$$

6. Le maximum du sinus vaut $1$, et $\dfrac{2}{\pi}\approx 0{,}637<1$. $$\boxed{\text{Oui, c'était prévisible}}$$ La valeur moyenne d'une fonction est toujours comprise entre son minimum et son maximum sur l'intervalle, ici entre $0$ et $1$. Géométriquement, $\mu$ est la hauteur du rectangle de base $[0\,;\pi]$ ayant la même aire que le domaine $\mathcal{D}$.

7. D'après la question 3, l'intégrale sur $[0\,;2\pi]$ est nulle : $$\mu=\frac{1}{2\pi}\times 0=\boxed{0}$$ C'était prévisible sans calcul : sur une période complète, le sinus prend autant de valeurs positives que de valeurs opposées, et sa moyenne est donc nulle.