Exercice 29

a) $\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, et la seconde solution s'obtient par symétrie : $2\pi-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{11\pi}{6}$. $$\boxed{S=\left\{\frac{\pi}{6}\,;\frac{11\pi}{6}\right\}}$$

b) $\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2}$, donc les solutions de $\sin(x)=-\dfrac{1}{2}$ se situent dans le troisième et le quatrième quadrant : $$\boxed{S=\left\{\frac{7\pi}{6}\,;\frac{11\pi}{6}\right\}}$$

c) Le cosinus est négatif lorsque le point du cercle est à gauche de l'axe vertical : $$\boxed{S=\left[\frac{\pi}{2}\,;\frac{3\pi}{2}\right]}$$

d) $\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, et le sinus dépasse strictement cette valeur entre $\dfrac{\pi}{4}$ et $\dfrac{3\pi}{4}$ : $$\boxed{S=\left]\frac{\pi}{4}\,;\frac{3\pi}{4}\right[}$$

e) $2\sin(x)-1=0 \iff \sin(x)=\dfrac{1}{2}$ : $$\boxed{S=\left\{\frac{\pi}{6}\,;\frac{5\pi}{6}\right\}}$$

f) On pose $X=2x$. Lorsque $x$ décrit $[0\,;2\pi]$, le réel $X$ décrit $[0\,;4\pi]$ : il faut donc chercher les solutions sur deux tours. $$\cos(X)=\frac{1}{2} \iff X\in\left\{\frac{\pi}{3}\,;\frac{5\pi}{3}\,; \frac{7\pi}{3}\,;\frac{11\pi}{3}\right\}$$ En divisant par $2$ : $$\boxed{S=\left\{\frac{\pi}{6}\,;\frac{5\pi}{6}\,;\frac{7\pi}{6}\,; \frac{11\pi}{6}\right\}}$$