Exercice 30

Partie A : la démonstration.

1. $$\boxed{g'(x)=1-\cos(x)}$$ Pour tout réel $x$, $\cos(x)\leqslant 1$, donc : $$\boxed{g'(x)\geqslant 0 \text{ sur } [0\,;+\infty[}$$ La dérivée s'annule lorsque $\cos(x)=1$, c'est-à-dire aux points $x=2k\pi$ : ce sont des points isolés, qui n'interrompent pas la croissance.

2.

3. La fonction $g$ étant croissante sur $[0\,;+\infty[$ et valant $0$ en $0$, elle reste positive : $$\forall x\geqslant 0, \quad g(x)\geqslant g(0)=0$$

4. $$\boxed{\text{Sur } [0\,;+\infty[, \text{ la courbe du sinus est située en dessous de la droite } y=x}$$ Les deux courbes se touchent uniquement en l'origine, ce qui correspond au cas $g(x)=0$.

5. Le sinus étant impair, pour $x\leqslant 0$ on pose $x=-u$ avec $u\geqslant 0$ : $$\sin(u)\leqslant u \quad \Longrightarrow \quad -\sin(u)\geqslant -u \quad \Longrightarrow \quad \sin(-u)\geqslant -u$$

Partie B : qualité de l'approximation.

6.

7. L'écart croît très vite : il est de l'ordre de $2\times 10^{-4}$ pour $x=0{,}1$, mais déjà de $0{,}16$ pour $x=1$, soit près de $16\ \%$ de la valeur. $$\boxed{\text{L'approximation est acceptable pour } |x| \text{ inférieur à environ } 0{,}2 \text{ ou } 0{,}3}$$ On peut le formuler en pourcentage : pour $x=0{,}1$, l'erreur relative vaut environ $0{,}17\ \%$ ; pour $x=0{,}5$, elle atteint déjà $4\ \%$.

8. Parce que la limite $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}=1$, sur laquelle tout repose, n'est vraie qu'en radians. En degrés, le taux de variation du sinus en $0$ vaut $\dfrac{\pi}{180}\approx 0{,}0175$, et non $1$. $$\boxed{\text{En degrés, l'approximation correcte serait } \sin(x)\approx \frac{\pi}{180}\,x}$$ C'est précisément ce qui justifie l'emploi du radian en analyse : c'est la seule unité pour laquelle les formules de dérivation prennent leur forme simple.