Exercice 31

1. C'est une formule des angles associés, vue en Première : les réels $x$ et $\dfrac{\pi}{2}-x$ correspondent à deux points du cercle symétriques par rapport à la première bissectrice, ce qui échange abscisse et ordonnée. $$\boxed{\cos(x)=\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}$$

2. On dérive les deux membres. À droite, on applique $\big(\sin(u)\big)'=u'\cos(u)$ avec $u(x)=\dfrac{\pi}{2}-x$, donc $u'(x)=-1$ : $$\cos'(x)=(-1)\times\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right) =\boxed{-\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}$$

3. Par la même formule des angles associés appliquée cette fois au cosinus : $$\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin(x)$$

4. En $0$, le cosinus atteint son maximum : la tangente y est horizontale, donc $\cos'(0)=0$. La formule donne bien $-\sin(0)=0$.

En $\dfrac{\pi}{2}$, la courbe du cosinus descend le plus rapidement : la tangente y a la pente la plus négative possible, à savoir $-1$. La formule donne $-\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=-1$. $$\boxed{\text{Les deux vérifications sont cohérentes}}$$

5. On part cette fois de $\sin(x)=\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)$, puis on dérive avec $\big(\cos(u)\big)'=-u'\sin(u)$ et $u'=-1$ : $$\sin'(x)=-(-1)\times\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right) =\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\boxed{\cos(x)}$$ Les deux formules se déduisent donc l'une de l'autre : il suffit d'en admettre une seule.