Exercice 32

1. $$f(-x)=\sin(-x)\cos(-x)=\left(-\sin(x)\right)\times\cos(x)=-f(x)$$

2. On dérive le produit : $$f'(x)=\cos(x)\times\cos(x)+\sin(x)\times\left(-\sin(x)\right) =\cos^{2}(x)-\sin^{2}(x)$$ Or l'identité rappelée donne exactement : $$\boxed{f'(x)=\cos(2x)}$$

3. $$f(x+\pi)=\sin(x+\pi)\cos(x+\pi)=\left(-\sin(x)\right)\times\left(-\cos(x)\right) =\sin(x)\cos(x)=f(x)$$

4. Sur $\left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right]$, le réel $2x$ décrit $[0\,;\pi]$ : le cosinus y est positif jusqu'à $\dfrac{\pi}{2}$, puis négatif. Donc $f'(x)\geqslant 0$ pour $2x\leqslant\dfrac{\pi}{2}$, c'est-à-dire $x\leqslant\dfrac{\pi}{4}$.

En effet $f\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\times\dfrac{\sqrt{2}}{2} =\dfrac{1}{2}$.

5. La fonction étant $\pi$-périodique, ce maximum local est le maximum sur $\mathbb{R}$ tout entier, et il se reproduit à chaque période : $$\boxed{\text{Le maximum de } f \text{ vaut } \frac{1}{2}, \text{ atteint en } x=\frac{\pi}{4}+k\pi \text{ avec } k\in\mathbb{Z}}$$

6. L'identité $\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)$ donne immédiatement : $$\boxed{f(x)=\frac{1}{2}\sin(2x)}$$ Sous cette forme, tout devient évident : le sinus étant compris entre $-1$ et $1$, la fonction $f$ oscille entre $-\dfrac{1}{2}$ et $\dfrac{1}{2}$, et le maximum est atteint lorsque $\sin(2x)=1$, c'est-à-dire $2x=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi$, soit $x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi$. On retrouve bien le résultat de la question 5, sans aucune étude de dérivée.