Exercice 33

1.

2. On fait glisser la droite horizontale d'ordonnée $k$ et l'on compte les intersections. $$\boxed{\begin{array}{ll} \text{si } k<-1 \text{ ou } k>1 & : \; \text{aucune solution} \\[1mm] \text{si } k=1 & : \; 2 \text{ solutions } (x=0 \text{ et } x=2\pi) \\[1mm] \text{si } -1<k<1 & : \; 2 \text{ solutions} \\[1mm] \text{si } k=-1 & : \; 1 \text{ solution } (x=\pi) \end{array}}$$ Le cas $k=1$ est particulier : les deux solutions sont les bornes de l'intervalle, qui correspondent au même point du cercle trigonométrique.

3. $$\boxed{k=1 : S=\{0\,;2\pi\} \quad ; \quad k=0 : S=\left\{\frac{\pi}{2}\,;\frac{3\pi}{2}\right\} \quad ; \quad k=-1 : S=\{\pi\}}$$

4. Sur $\mathbb{R}$, la périodicité reproduit indéfiniment chaque solution : $$\boxed{\begin{array}{ll} \text{si } |k|>1 & : \; \text{aucune solution} \\[1mm] \text{si } |k|\leqslant 1 & : \; \text{une infinité de solutions} \end{array}}$$

5. On pose $X=2x$ : lorsque $x$ décrit $[0\,;2\pi]$, le réel $X$ décrit $[0\,;4\pi]$, soit deux périodes. Chaque solution en $X$ fournit une solution en $x$, et le nombre de solutions double. $$\boxed{\begin{array}{ll} \text{si } |k|>1 & : \; \text{aucune solution} \\[1mm] \text{si } -1<k<1 & : \; 4 \text{ solutions} \\[1mm] \text{si } k=1 & : \; 3 \text{ solutions } \left(x=0,\ \pi,\ 2\pi\right) \\[1mm] \text{si } k=-1 & : \; 2 \text{ solutions } \left(x=\frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}\right) \end{array}}$$