Exercice 34

Partie A : premières propriétés.

1. Pour tout réel $x$, $-1\leqslant\sin(x)\leqslant 1$. En multipliant par $2$, qui est positif, puis en ajoutant $3$ : $$-2\leqslant 2\sin(x)\leqslant 2 \qquad \text{puis} \qquad \boxed{1\leqslant 3+2\sin(x)\leqslant 5}$$ Le dénominateur est donc toujours supérieur ou égal à $1$ : il ne s'annule jamais. $$\boxed{f \text{ est définie sur } \mathbb{R} \text{ tout entier}}$$

2. Le numérateur et le dénominateur sont tous deux $2\pi$-périodiques : $$f(x+2\pi)=\frac{-\cos(2x+4\pi)}{3+2\sin(x+2\pi)}=\frac{-\cos(2x)}{3+2\sin(x)}=f(x)$$

3. $$f(-x)=\frac{-\cos(-2x)}{3+2\sin(-x)}=\frac{-\cos(2x)}{3-2\sin(x)}$$ Le dénominateur a changé : ce n'est ni $f(x)$ ni $-f(x)$. On le confirme par un contre-exemple : $$f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{-\cos(\pi)}{3+2}=\frac{1}{5} \qquad \text{et} \qquad f\left(-\frac{\pi}{2}\right)=\frac{-\cos(-\pi)}{3-2}=1$$

4. On utilise $\sin(\pi-x)=\sin(x)$ et $\cos(2\pi-2x)=\cos(2x)$ : $$f(\pi-x)=\frac{-\cos\big(2(\pi-x)\big)}{3+2\sin(\pi-x)} =\frac{-\cos(2\pi-2x)}{3+2\sin(x)}=\frac{-\cos(2x)}{3+2\sin(x)}=f(x)$$

5. Connaître $f$ sur $\left[-\dfrac{\pi}{2}\,;\dfrac{\pi}{2}\right]$ suffit : la symétrie de la question 4 donne alors $f$ sur $\left[\dfrac{\pi}{2}\,;\dfrac{3\pi}{2}\right]$, puisque $\pi-x$ décrit le premier intervalle lorsque $x$ décrit le second. $$\boxed{\text{Il suffit d'étudier } f \text{ sur } \left[-\frac{\pi}{2}\,;\frac{\pi}{2}\right]}$$ On obtient ainsi $f$ sur $\left[-\dfrac{\pi}{2}\,;\dfrac{3\pi}{2}\right]$, intervalle de longueur $2\pi$, puis toute la courbe par translations de vecteur $2\pi\,\vec{\imath}$.

Partie B : réduction à une fonction rationnelle.

6. L'identité $\cos(2x)=1-2\sin^{2}(x)$ donne $-\cos(2x)=2\sin^{2}(x)-1$ : $$\boxed{f(x)=\frac{2\sin^{2}(x)-1}{3+2\sin(x)}}$$

7. Sur $\left[-\dfrac{\pi}{2}\,;\dfrac{\pi}{2}\right]$, la dérivée du sinus est $\cos(x)$, qui y est positive et ne s'annule qu'aux deux bornes. $$\boxed{t=\sin(x) \text{ croît strictement de } -1 \text{ à } 1}$$ Chaque valeur de $t$ de $[-1\,;1]$ correspond donc à un unique $x$ de l'intervalle d'étude : on peut remplacer l'étude de $f$ par celle de $g$.

8. On dérive le quotient, avec $u=2t^{2}-1$ et $v=2t+3$ : $$\begin{aligned} g'(t) &= \frac{4t(2t+3)-2\left(2t^{2}-1\right)}{(2t+3)^{2}} = \frac{8t^{2}+12t-4t^{2}+2}{(2t+3)^{2}} \\ &= \frac{4t^{2}+12t+2}{(2t+3)^{2}} = \boxed{\frac{2\left(2t^{2}+6t+1\right)}{(2t+3)^{2}}} \end{aligned}$$

9. Le discriminant vaut $\Delta=36-8=28$, d'où $\sqrt{\Delta}=2\sqrt{7}$ et les deux racines : $$t=\frac{-6-2\sqrt{7}}{4}=\frac{-3-\sqrt{7}}{2}\approx -2{,}82 \qquad ; \qquad t=\frac{-6+2\sqrt{7}}{4}=\frac{-3+\sqrt{7}}{2}\approx -0{,}18$$ La première n'appartient pas à $[-1\,;1]$, la seconde si : $$\boxed{t_{0}=\frac{-3+\sqrt{7}}{2}\approx -0{,}177}$$

10. Le dénominateur $(2t+3)^{2}$ est un carré, strictement positif car $2t+3\geqslant 1$. Le signe de $g'(t)$ est donc celui du trinôme $2t^{2}+6t+1$, dont le coefficient dominant est positif : il est négatif entre les racines, positif à l'extérieur. Sur $[-1\,;1]$, seule $t_{0}$ intervient. $$\boxed{g'(t)<0 \text{ sur } \left[-1\,;t_{0}\right[ \quad \text{et} \quad g'(t)>0 \text{ sur } \left]t_{0}\,;1\right]}$$

11. $$g(-1)=\frac{2-1}{-2+3}=\boxed{1} \qquad ; \qquad g(1)=\frac{2-1}{2+3}=\boxed{\frac{1}{5}}$$

12. Comme $t_{0}$ est racine de $2t^{2}+6t+1$, on a $2t_{0}^{2}+6t_{0}+1=0$, c'est-à-dire : $$\boxed{2t_{0}^{2}=-6t_{0}-1}$$ On remplace alors dans le numérateur de $g(t_{0})$ : $$g(t_{0})=\frac{2t_{0}^{2}-1}{2t_{0}+3}=\frac{-6t_{0}-1-1}{2t_{0}+3} =\frac{-6t_{0}-2}{2t_{0}+3}$$ Or $2t_{0}=-3+\sqrt{7}$, donc $2t_{0}+3=\sqrt{7}$ et $-6t_{0}-2=-3\left(-3+\sqrt{7}\right)-2=7-3\sqrt{7}$ : $$g(t_{0})=\frac{7-3\sqrt{7}}{\sqrt{7}}=\frac{7}{\sqrt{7}}-3=\sqrt{7}-3$$

13.

Partie C : retour à $f$ et tracé.

14. Comme $t=\sin(x)$ croît strictement sur l'intervalle d'étude, $f$ varie exactement comme $g$ : il suffit de traduire $t_{0}$ en $x_{0}=\arcsin\left(t_{0}\right)$, obtenu à la calculatrice. $$\boxed{x_{0}\approx -0{,}18}$$

15. Le dénominateur ne s'annulant jamais, le quotient est nul si et seulement si son numérateur l'est : $$f(x)=0 \iff \cos(2x)=0 \iff 2x=\frac{\pi}{2}+k\pi \iff x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}$$ En ne gardant que les valeurs de $\left[-\dfrac{\pi}{2}\,;\dfrac{\pi}{2}\right]$ : $$\boxed{S=\left\{-\frac{\pi}{4}\,;\frac{\pi}{4}\right\}}$$

16. $$f\left(-\frac{\pi}{2}\right)=\frac{-\cos(-\pi)}{3-2}=\boxed{1} \qquad ; \qquad f(0)=\frac{-\cos(0)}{3+0}=\boxed{-\frac{1}{3}}$$

17. Voici la courbe. En violet la portion réellement étudiée, en bleu ardoise son image par la symétrie d'axe $x=\dfrac{\pi}{2}$, et en gris tout le reste, obtenu par translations.

On vérifie sur la figure les trois points remarquables : le maximum $1$ atteint en $-\dfrac{\pi}{2}$ et en $\dfrac{3\pi}{2}$, le minimum $\sqrt{7}-3$ atteint deux fois par période, et les zéros aux abscisses $\dfrac{\pi}{4}+k\dfrac{\pi}{2}$.