Exercice 25 Type Bac

1. $$\boxed{f'(x)=1-\sin(x)}$$

2. Pour tout réel $x$, $\sin(x)\leqslant 1$, donc $1-\sin(x)\geqslant 0$ : $$\boxed{f'(x)\geqslant 0 \text{ sur } [0\,;2\pi]}$$ L'égalité a lieu si et seulement si $\sin(x)=1$, ce qui, sur $[0\,;2\pi]$, ne se produit qu'en un seul point : $$\boxed{f'(x)=0 \text{ uniquement pour } x=\frac{\pi}{2}}$$

3. La dérivée est positive et ne s'annule qu'en un point isolé : la décroissance n'est jamais interrompue.

4. On calcule $f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=\dfrac{\pi}{2}+0=\dfrac{\pi}{2}$ et $f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0$ : $$\boxed{T : y=\frac{\pi}{2}}$$

$$\boxed{\text{La tangente est horizontale, sans que } f \text{ y admette d'extremum}}$$ C'est le point important : la dérivée s'annule sans changer de signe. La courbe présente en ce point un simple palier avant de poursuivre sa montée.

5. Non. On a $f(0)=1$, tandis que $f(2\pi)=2\pi+1\neq 1$ : la fonction ne reprend pas la même valeur après un tour. $$\boxed{f \text{ n'est pas périodique}}$$ Le terme $x$ fait croître la fonction indéfiniment, alors que seul $\cos(x)$ est périodique.

6. La fonction $f$ est continue et strictement croissante sur $[0\,;2\pi]$, avec $f(0)=1$ et $f(2\pi)=2\pi+1\approx 7{,}28$. Comme $4$ est compris entre ces deux valeurs, le théorème des valeurs intermédiaires garantit : $$\boxed{\text{L'équation } f(x)=4 \text{ admet une unique solution sur } [0\,;2\pi]}$$ La calculatrice donne alors : $$\boxed{x\approx 4{,}35}$$ Vérification : $4{,}35+\cos(4{,}35)\approx 4{,}35-0{,}35\approx 4$.