Exercice 24 Vrai ou faux

1. Vraie. C'est la proposition 1 : le cosinus est l'abscisse d'un point du cercle de rayon $1$, donc $-1\leqslant\cos(x)\leqslant 1$.

2. Fausse. Contre-exemple avec $x=\dfrac{\pi}{2}$ : $$\sin(\pi)=0 \qquad \text{alors que} \qquad 2\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=2$$ La formule correcte est $\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)$.

3. Fausse. Le cosinus est décroissant sur $[0\,;\pi]$, mais croissant sur $[\pi\,;2\pi]$. Contre-exemple : $\cos(\pi)=-1$ et $\cos(2\pi)=1$, donc la fonction croît entre ces deux valeurs.

4. Vraie. Si $f(x+2\pi)=f(x)$ pour tout $x$, alors en appliquant deux fois : $$f(x+4\pi)=f\big((x+2\pi)+2\pi\big)=f(x+2\pi)=f(x)$$ Attention : $4\pi$ est une période, mais ce n'est pas la plus petite.

5. Fausse. Contre-exemple avec $f(x)=\cos(x)$ (paire) et $g(x)=\sin(x)$ (impaire) : leur somme $\cos(x)+\sin(x)$ n'est ni paire ni impaire, comme l'a montré l'exercice 3.

6. Vraie. Si $f(x+2\pi)=f(x)$ pour tout $x$, on dérive les deux membres. La dérivée du membre de gauche vaut $f'(x+2\pi)$ d'après la dérivation d'une composée, d'où $f'(x+2\pi)=f'(x)$.

7. Fausse. Le cosinus est toujours inférieur ou égal à $1$ : l'équation $\cos(x)=2$ n'admet aucune solution.

8. Fausse. L'inégalité $\sin(x)\leqslant x$ n'est vraie que pour $x\geqslant 0$, comme l'établit l'exercice 30. Contre-exemple avec $x=-\dfrac{\pi}{2}$ : $$\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1 \qquad \text{alors que} \qquad -\frac{\pi}{2}\approx -1{,}57$$ On a donc $\sin(x)>x$.

9. Vraie. C'est le produit de deux fonctions impaires : $$f(-x)=(-x)\sin(-x)=(-x)\times\left(-\sin(x)\right)=x\sin(x)=f(x)$$

10. Vraie. $\sin'\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0$ : la tangente est horizontale, ce qui est cohérent avec le maximum atteint en ce point.