Exercice 22

1. Le tableau donne directement : $$\boxed{f(0)=0 \qquad ; \qquad f\left(\frac{\pi}{2}\right)=2 \qquad ; \qquad f(\pi)=0}$$

2. La fonction étant impaire : $$\boxed{f\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-f\left(\frac{\pi}{2}\right)=-2}$$ La fonction étant $2\pi$-périodique : $$\boxed{f\left(\frac{5\pi}{2}\right)=f\left(\frac{5\pi}{2}-2\pi\right) =f\left(\frac{\pi}{2}\right)=2}$$

3. L'imparité donne une symétrie par rapport à l'origine, puis la périodicité une répétition tous les $2\pi$.

L'allure obtenue est celle de $x\mapsto 2\sin(x)$, qui vérifie effectivement toutes les conditions de l'énoncé.

4. Sur $[-\pi\,;0]$, l'imparité inverse le sens de variation par rapport à $[0\,;\pi]$ : la fonction décroît puis croît, en passant par le minimum $-2$ en $-\dfrac{\pi}{2}$.

5. Sur une période, la droite $y=1$ coupe la courbe deux fois. L'intervalle $[-2\pi\,;2\pi]$ contient deux périodes complètes : $$\boxed{\text{L'équation } f(x)=1 \text{ admet } 4 \text{ solutions sur } [-2\pi\,;2\pi]}$$