ExerciceTerminale, chapitre 9 — Fonctions trigonométriques · Étude et représentation graphique

Exercice 21

DémonstrationCalcul

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=2\cos(x)+\cos(2x)$ .

1. Démontrer que $f$ est paire et périodique de période $2\pi$ . En déduire l'intervalle d'étude que l'on peut choisir.

2. Démontrer que pour tout réel $x$ , $f'(x)=-2\sin(x)\big(1+2\cos(x)\big)$ .

On pourra utiliser l'identité $\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)$ .

3. Étudier le signe de $f'(x)$ sur $[0\,;\pi]$ , en dressant un tableau de signes à deux facteurs.

4. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[0\,;\pi]$ , en donnant les valeurs exactes de $f(0)$ , $f\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)$ et $f(\pi)$ .

5. Tracer la courbe de $f$ sur $[0\,;\pi]$ , puis la compléter sur $[-2\pi\,;2\pi]$ .

Corrigé

1. Parité. Pour tout réel $x$ : $f(-x)=2\cos(-x)+\cos(-2x)=2\cos(x)+\cos(2x)=f(x)$ Périodicité. Les fonctions $x\mapsto\cos(x)$ et $x\mapsto\cos(2x)$ sont toutes deux $2\pi$ -périodiques, donc leur somme l'est aussi : $f(x+2\pi)=2\cos(x+2\pi)+\cos(2x+4\pi)=2\cos(x)+\cos(2x)=f(x)$

\boxed{f \text{ est paire et } 2\pi\text{-périodique : il suffit de l'étudier sur } [0\,;\pi]}

2. On dérive, puis on utilise $\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)$ : $\begin{aligned} f'(x) &= -2\sin(x)-2\sin(2x) \\ &= -2\sin(x)-4\sin(x)\cos(x) \\ &= \boxed{-2\sin(x)\big(1+2\cos(x)\big)} \end{aligned}$

3. Sur $[0\,;\pi]$ , le facteur $\sin(x)$ est positif, et il ne s'annule qu'aux bornes. Le facteur $1+2\cos(x)$ s'annule lorsque $\cos(x)=-\dfrac{1}{2}$ , c'est-à-dire pour $x=\dfrac{2\pi}{3}$  ; il est positif avant, négatif après.

4. Les valeurs demandées sont : $f(0)=2\times 1+1=\boxed{3}$

f\left(\frac{2\pi}{3}\right)=2\times\left(-\frac{1}{2}\right) +\cos\left(\frac{4\pi}{3}\right)=-1-\frac{1}{2}=\boxed{-\frac{3}{2}}

f(\pi)=2\times(-1)+\cos(2\pi)=-2+1=\boxed{-1}

En bleu pétrole la portion étudiée, en gris la courbe complète, obtenue par symétrie puis translations.

Énoncé PDF, p. 6 Corrigé PDF, p. 13 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Zéros, périodes et paramétrage du cercle L'équation y″ + y = 0, formules d'addition et périodicité Opérations sur les fonctions dérivables Signe de la dérivée et monotonie

Thèmes

cosinus et sinus, périodicité, parité, lecture graphique, dérivée, fonction composée, étude de signe et de variations, formules trigonométriques

Notions

π, dérivable, composée, fonction périodique, cosinus et sinus