Exercice 5

1. D'après la proposition 1, $\cos^{2}(x)+\sin^{2}(x)=1$, donc : $$\sin^{2}(x)=1-\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$$ D'où $\sin(x)=\pm\dfrac{4}{5}$. Comme $x\in\left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right]$, le sinus est positif : $$\boxed{\sin(x)=\frac{4}{5}}$$

2. $$\cos^{2}(x)=1-\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}$$ D'où $\cos(x)=\pm\dfrac{\sqrt{5}}{3}$. Comme $x\in\left[-\dfrac{\pi}{2}\,;0\right]$, le cosinus est positif : $$\boxed{\cos(x)=\frac{\sqrt{5}}{3}}$$

3. On reconnaît $u^{2}-v^{2}$ avec $u=\cos^{2}(x)$ et $v=\sin^{2}(x)$ : $$\begin{aligned} A(x) &= \left(\cos^{2}(x)-\sin^{2}(x)\right) \underbrace{\left(\cos^{2}(x)+\sin^{2}(x)\right)}_{=\,1}+2\sin^{2}(x) \\ &= \cos^{2}(x)-\sin^{2}(x)+2\sin^{2}(x) \\ &= \cos^{2}(x)+\sin^{2}(x) \end{aligned}$$

4. On développe l'identité remarquable : $$\left(\cos(x)+\sin(x)\right)^{2} =\underbrace{\cos^{2}(x)+\sin^{2}(x)}_{=\,1}+2\sin(x)\cos(x)$$