Exercice 4

1. Soit $x$ un réel. Alors : $$f\left(x+\frac{2\pi}{3}\right)=\cos\left(3x+3\times\frac{2\pi}{3}\right) =\cos\big(3x+2\pi\big)=\cos(3x)=f(x)$$

2. $$g\big(x+4\pi\big)=\sin\left(\frac{x+4\pi}{2}\right) =\sin\left(\frac{x}{2}+2\pi\right)=\sin\left(\frac{x}{2}\right)=g(x)$$

3. Les deux exemples suggèrent que la période est inversement proportionnelle au coefficient de $x$ : $$\boxed{\text{Conjecture : } x\mapsto\sin(ax) \text{ est périodique de période } \frac{2\pi}{a}}$$ Démonstration. Pour tout réel $x$ : $$\sin\left(a\left(x+\frac{2\pi}{a}\right)\right)=\sin\big(ax+2\pi\big)=\sin(ax)$$ Les deux premières questions en sont les cas particuliers $a=3$ et $a=\dfrac{1}{2}$.

4. Raisonnons par l'absurde en supposant $h$ périodique de période $T>0$. L'égalité $h(x+T)=h(x)$ s'écrit alors, pour tout réel $x$ : $$x+T+\sin(x+T)=x+\sin(x) \qquad \text{soit} \qquad \sin(x+T)-\sin(x)=-T$$ Appliquons-la successivement à deux valeurs bien choisies. Pour $x=0$ : $$\sin(T)-0=-T \qquad \text{donc} \qquad \sin(T)=-T$$ Pour $x=-T$ : $$\sin(0)-\sin(-T)=-T \qquad \text{donc} \qquad \sin(T)=-T \ \text{devient} \ \sin(T)=T$$ On aurait donc $T=-T$, c'est-à-dire $T=0$, ce qui contredit $T>0$. $$\boxed{h \text{ n'est pas périodique}}$$ Intuitivement, le terme $x$ fait dériver la courbe vers le haut : le motif ne peut pas se répéter à l'identique.