Exercice 3

On calcule à chaque fois $f(-x)$, en utilisant $\cos(-u)=\cos(u)$ et $\sin(-u)=-\sin(u)$.

a) $f(-x)=\cos(-3x)=\cos(3x)=f(x)$ : $\boxed{f \text{ est paire}}$

b) $f(-x)=\sin(-x)+(-x)=-\sin(x)-x=-\big(\sin(x)+x\big)=-f(x)$ : $\boxed{f \text{ est impaire}}$

c) $f(-x)=(-x)^{2}\cos(-x)=x^{2}\cos(x)=f(x)$ : $\boxed{f \text{ est paire}}$ C'est le produit de deux fonctions paires.

d) $f(-x)=\sin(-x)\cos(-x)=-\sin(x)\cos(x)=-f(x)$ : $\boxed{f \text{ est impaire}}$ C'est le produit d'une fonction impaire par une fonction paire.

e) $f(-x)=\cos(x)-\sin(x)$, qui n'est ni $f(x)$ ni $-f(x)$. Deux contre-exemples le confirment : $$f\left(\frac{\pi}{2}\right)=1 \quad \text{et} \quad f\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1 \quad \text{donc } f \text{ n'est pas paire}$$

$$f(0)=1\neq 0 \quad \text{donc } f \text{ n'est pas impaire}$$ Une fonction impaire vérifie toujours $f(0)=-f(0)$, donc $f(0)=0$. $$\boxed{f \text{ n'est ni paire ni impaire}}$$

f) Comme $-1\leqslant\cos(x)\leqslant 1$, on a $1\leqslant 2+\cos(x)\leqslant 3$ : le dénominateur est toujours strictement positif, donc $f$ est bien définie sur $\mathbb{R}$. Alors : $$f(-x)=\frac{\sin(-x)}{2+\cos(-x)}=\frac{-\sin(x)}{2+\cos(x)}=-f(x)$$