ExerciceTerminale, chapitre 9 — Fonctions trigonométriques · Périodicité, parité et valeurs remarquables

Exercice 2

DémonstrationCalcul

En utilisant la périodicité, ramener chacun des réels suivants à un réel de $\left]-\pi\,;\pi\right]$ , puis donner la valeur exacte demandée.

a) $\cos\left(\dfrac{13\pi}{3}\right)$

b) $\sin\left(\dfrac{17\pi}{4}\right)$

c) $\cos\left(-\dfrac{25\pi}{6}\right)$

d) $\sin\left(\dfrac{15\pi}{2}\right)$

Démontrer ensuite que pour tout entier relatif $k$ et tout réel $x$ : $\cos\big(x+2k\pi\big)+\sin\big(x+2k\pi\big)=\cos(x)+\sin(x)$

Corrigé

On retranche ou l'on ajoute un multiple entier de $2\pi$ , ce qui ne change ni le cosinus ni le sinus.

a) On retranche deux tours complets : $\frac{13\pi}{3}=\frac{\pi}{3}+\frac{12\pi}{3}=\frac{\pi}{3}+4\pi =\frac{\pi}{3}+2\times 2\pi$

\boxed{\cos\left(\frac{13\pi}{3}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}}

b) $\frac{17\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+4\pi=\frac{\pi}{4}+2\times 2\pi$

\boxed{\sin\left(\frac{17\pi}{4}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) =\frac{\sqrt{2}}{2}}

c) $-\frac{25\pi}{6}=-\frac{\pi}{6}-4\pi=-\frac{\pi}{6}-2\times 2\pi$

\boxed{\cos\left(-\frac{25\pi}{6}\right)=\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) =\frac{\sqrt{3}}{2}}

d) $\frac{15\pi}{2}=-\frac{\pi}{2}+8\pi=-\frac{\pi}{2}+4\times 2\pi$

\boxed{\sin\left(\frac{15\pi}{2}\right)=\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1}

Démonstration. Soit $k$ un entier relatif et $x$ un réel. D'après la proposition 1 du cours, $\cos(x+2k\pi)=\cos(x)$ et $\sin(x+2k\pi)=\sin(x)$ . En additionnant ces deux égalités : $\boxed{\cos\big(x+2k\pi\big)+\sin\big(x+2k\pi\big)=\cos(x)+\sin(x)}$

Énoncé PDF, p. 1 Corrigé PDF, p. 1 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Zéros, périodes et paramétrage du cercle

Thèmes

cosinus et sinus, valeurs remarquables, périodicité, fonction composée

Notions

π, composée, cosinus et sinus