Exercice 8

1. La droite $y=\dfrac{1}{2}$ coupe la courbe en quatre points sur $[-2\pi\,;2\pi]$. $$\boxed{S=\left\{-\frac{5\pi}{3}\,;-\frac{\pi}{3}\,;\frac{\pi}{3}\,;\frac{5\pi}{3}\right\}}$$ En effet $\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}$, et l'on obtient les autres solutions par parité puis par périodicité.

2. De même, $\cos\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ : $$\boxed{S=\left\{-\frac{5\pi}{4}\,;-\frac{3\pi}{4}\,;\frac{3\pi}{4}\,;\frac{5\pi}{4}\right\}}$$

3. Sur $[0\,;2\pi]$, la courbe est au-dessus de la droite $y=\dfrac{1}{2}$ au début et à la fin de l'intervalle : $$\boxed{S=\left[0\,;\frac{\pi}{3}\right]\cup\left[\frac{5\pi}{3}\,;2\pi\right]}$$

4. La courbe est strictement en dessous de $y=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ entre les deux points d'intersection situés dans $[0\,;2\pi]$ : $$\boxed{S=\left]\frac{3\pi}{4}\,;\frac{5\pi}{4}\right[}$$

5. La fonction étant $2\pi$-périodique, chaque solution se reproduit indéfiniment : $$\boxed{\text{L'équation admet une infinité de solutions sur } \mathbb{R}}$$