Exercice 9

1. On lit les ordonnées aux extrémités de l'arc tracé : $$\boxed{f(0)=2 \qquad ; \qquad f(\pi)=0}$$

2. et 3. La fonction étant paire, la courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées : on complète sur $[-\pi\,;0]$ par cette symétrie. Elle est ensuite $2\pi$-périodique, donc on reproduit le motif obtenu sur $[-\pi\,;\pi]$ par translations successives de vecteur $2\pi\,\vec{\imath}$.

En bleu ardoise l'arc fourni, en gris tout le reste, obtenu sans aucun calcul.

3. La parité donne directement : $$\boxed{f\left(-\frac{\pi}{2}\right)=f\left(\frac{\pi}{2}\right)=-1}$$ La périodicité permet ensuite de retrancher $2\pi$ : $$\boxed{f\left(\frac{5\pi}{2}\right)=f\left(\frac{5\pi}{2}-2\pi\right) =f\left(\frac{\pi}{2}\right)=-1}$$

4. Le minimum est atteint une fois sur $[0\,;\pi]$, donc deux fois sur $[-\pi\,;\pi]$ par symétrie, et le motif se répète une fois de chaque côté sur $[-2\pi\,;2\pi]$ : $$\boxed{\text{Le minimum est atteint } 4 \text{ fois sur } [-2\pi\,;2\pi]}$$