ExerciceTerminale, chapitre 9 — Fonctions trigonométriques · Lecture graphique

Exercice 7

Démonstration

Sur le graphique ci-dessous sont tracées quatre courbes, représentant dans le désordre les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par : $x\mapsto\sin(x) \quad ; \quad x\mapsto 2\sin(x) \quad ; \quad x\mapsto\sin(2x) \quad ; \quad x\mapsto\sin(x)+1$

1. Associer chaque courbe à son expression. On justifiera chaque réponse par au moins deux arguments choisis parmi la période, le maximum, le minimum et la valeur en $0$ .

2. Parmi ces quatre fonctions, lesquelles sont impaires ? Le vérifier par le calcul.

3. Laquelle n'est ni paire ni impaire ? Quelle transformation géométrique fait passer de sa courbe à celle du sinus ?

Corrigé

1. On compare période, maximum et minimum.

Courbe	Période	Max	Min	Expression
$\mathcal{C}_{1}$	$2\pi$	$1$	$-1$	$x\mapsto\sin(x)$
$\mathcal{C}_{2}$	$2\pi$	$2$	$-2$	$x\mapsto 2\sin(x)$
$\mathcal{C}_{3}$	$\pi$	$1$	$-1$	$x\mapsto\sin(2x)$
$\mathcal{C}_{4}$	$2\pi$	$2$	$0$	$x\mapsto\sin(x)+1$

Les courbes $\mathcal{C}_{2}$ et $\mathcal{C}_{4}$ ont le même maximum : c'est le minimum qui les départage. Les courbes $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{3}$ ont les mêmes bornes : c'est la période qui les départage.

2. $\boxed{\mathcal{C}_{1},\ \mathcal{C}_{2} \text{ et } \mathcal{C}_{3} \text{ sont impaires}}$ En effet $\sin(-x)=-\sin(x)$ , $2\sin(-x)=-2\sin(x)$ et $\sin(-2x)=-\sin(2x)$ . Leurs courbes sont bien symétriques par rapport à l'origine.

3. La fonction $x\mapsto\sin(x)+1$ vérifie $f(0)=1\neq 0$ : elle ne peut donc pas être impaire, et $f(-x)=-\sin(x)+1\neq f(x)$ interdit la parité. $\boxed{\mathcal{C}_{4} \text{ n'est ni paire ni impaire}}$

\boxed{\text{On passe de la courbe de } \sin \text{ à } \mathcal{C}_{4} \text{ par la translation de vecteur } \vec{\jmath}}

Énoncé PDF, p. 2 Corrigé PDF, p. 5 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Zéros, périodes et paramétrage du cercle L'équation y″ + y = 0, formules d'addition et périodicité

Thèmes

cosinus et sinus, périodicité, parité, lecture graphique, fonction composée

Notions

π, composée, cosinus et sinus