Exercice 14

Le cours donne $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}=1$ et $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\cos(x)-1}{x}=0$. Toute la technique consiste à faire apparaître ces quotients.

a) On multiplie et divise par $5$ : $$\frac{\sin(5x)}{x}=5\times\frac{\sin(5x)}{5x}$$ Lorsque $x$ tend vers $0$, $5x$ tend vers $0$ et le quotient tend vers $1$ : $$\boxed{\lim_{x\to 0}\frac{\sin(5x)}{x}=5}$$

b) $$\frac{\sin(x)}{3x}=\frac{1}{3}\times\frac{\sin(x)}{x} \qquad \Longrightarrow \qquad \boxed{\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{3x}=\frac{1}{3}}$$

c) On fait apparaître les deux quotients de référence : $$\frac{\sin(2x)}{\sin(3x)}=\frac{\sin(2x)}{2x}\times\frac{3x}{\sin(3x)} \times\frac{2x}{3x}$$ Les deux premiers facteurs tendent vers $1$, le troisième vaut $\dfrac{2}{3}$ : $$\boxed{\lim_{x\to 0}\frac{\sin(2x)}{\sin(3x)}=\frac{2}{3}}$$

d) C'est l'inverse du quotient de référence, dont la limite $1$ est non nulle : $$\boxed{\lim_{x\to 0}\frac{x}{\sin(x)}=1}$$

e) $$\frac{\cos(x)-1}{2x}=\frac{1}{2}\times\frac{\cos(x)-1}{x} \qquad \Longrightarrow \qquad \boxed{\lim_{x\to 0}\frac{\cos(x)-1}{2x}=0}$$

f) $$\frac{\sin(x)\cos(x)}{x}=\frac{\sin(x)}{x}\times\cos(x)$$ Le premier facteur tend vers $1$ et le second vers $\cos(0)=1$ : $$\boxed{\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)\cos(x)}{x}=1}$$