ExerciceTerminale, chapitre 9 — Fonctions trigonométriques · Dérivation et primitives

Exercice 15

Calcul

Le cours donne $\sin'=\cos$ et $\cos'=-\sin$ : en lisant ces formules à l'envers, on obtient des primitives. Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes sur $\mathbb{R}$ .

a) $f(x)=\cos(x)$

b) $f(x)=\sin(x)$

c) $f(x)=3\cos(x)-2\sin(x)$

d) $f(x)=\cos(2x)$

e) $f(x)=\sin(3x-1)$

f) $f(x)=\cos(x)+x$

g) $f(x)=\sin(x)\cos(x)$

h) $f(x)=\cos(x)\,\mathrm{e}^{\sin(x)}$

On vérifiera chaque réponse en la dérivant. Pour g), on pourra reconnaître une expression de la forme $u'u$ .

Corrigé

Une primitive $F$ de $f$ est une fonction dont la dérivée est $f$ . On lit donc les formules du cours à l'envers, sans oublier de compenser le coefficient intérieur par sa division.

	$f(x)$	Primitive $F(x)$	Vérification $F'(x)$
a)	$\cos(x)$	$\sin(x)$	$\sin'=\cos$
b)	$\sin(x)$	$-\cos(x)$	$(-\cos)'=+\sin$
c)	$3\cos(x)-2\sin(x)$	$3\sin(x)+2\cos(x)$	$3\cos(x)-2\sin(x)$
d)	$\cos(2x)$	$\dfrac{1}{2}\sin(2x)$	$\dfrac{1}{2}\times 2\cos(2x)=\cos(2x)$
e)	$\sin(3x-1)$	$-\dfrac{1}{3}\cos(3x-1)$	$-\dfrac{1}{3}\times\left(-3\sin(3x-1)\right)$
f)	$\cos(x)+x$	$\sin(x)+\dfrac{x^{2}}{2}$	$\cos(x)+x$
g)	$\sin(x)\cos(x)$	$\dfrac{1}{2}\sin^{2}(x)$	$\dfrac{1}{2}\times 2\sin(x)\cos(x)$
h)	$\cos(x)\,\mathrm{e}^{\sin(x)}$	$\mathrm{e}^{\sin(x)}$	$\cos(x)\,\mathrm{e}^{\sin(x)}$

En d) et e), le facteur $\dfrac{1}{2}$ ou $-\dfrac{1}{3}$ compense exactement le coefficient qui apparaît lors de la dérivation de la composée : c'est le point délicat.

En g), on reconnaît la forme $u'u$ avec $u=\sin(x)$ , dont une primitive est $\dfrac{u^{2}}{2}$ . On aurait aussi pu écrire $\sin(x)\cos(x)=\dfrac{1}{2}\sin(2x)$ , dont une primitive est $-\dfrac{1}{4}\cos(2x)$ : les deux réponses diffèrent d'une constante, ce qui est normal.

En h), on reconnaît $u'\mathrm{e}^{u}$ avec $u=\sin(x)$ .

Énoncé PDF, p. 5 Corrigé PDF, p. 9 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Zéros, périodes et paramétrage du cercle L'équation y″ + y = 0, formules d'addition et périodicité Théorème fondamental de l'analyse

Thèmes

cosinus et sinus, fonction composée, primitive

Notions

π, composée, cosinus et sinus