Exercice 16

On applique $\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x=F(b)-F(a)$, en utilisant les primitives de l'exercice précédent.

a) $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos(x)\,\mathrm{d}x =\Big[\sin(x)\Big]_{0}^{\frac{\pi}{2}}=\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)-\sin(0) =\boxed{1}$$

b) $$\int_{0}^{\pi}\sin(x)\,\mathrm{d}x=\Big[-\cos(x)\Big]_{0}^{\pi} =-\cos(\pi)+\cos(0)=1+1=\boxed{2}$$

c) $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin(2x)\,\mathrm{d}x =\left[-\frac{1}{2}\cos(2x)\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} =-\frac{1}{2}\cos(\pi)+\frac{1}{2}\cos(0)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\boxed{1}$$

d) $$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos(x)\,\mathrm{d}x =\Big[\sin(x)\Big]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}=1-(-1)=\boxed{2}$$

e) $$\int_{0}^{2\pi}\sin(x)\,\mathrm{d}x=\Big[-\cos(x)\Big]_{0}^{2\pi} =-\cos(2\pi)+\cos(0)=-1+1=\boxed{0}$$

f) $$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\big(\cos(x)-\sin(x)\big)\,\mathrm{d}x =\Big[\sin(x)+\cos(x)\Big]_{0}^{\frac{\pi}{4}} =\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)-(0+1)=\boxed{\sqrt{2}-1}$$

Explication de e). Sur $[0\,;\pi]$ le sinus est positif, sur $[\pi\,;2\pi]$ il est négatif. Plus précisément, le sinus vérifie $\sin(x+\pi)=-\sin(x)$ : à chaque valeur prise sur la première moitié correspond son opposée sur la seconde. $$\boxed{\text{Les deux contributions se compensent exactement, d'où une intégrale nulle}}$$ Attention : une intégrale nulle ne signifie pas que l'aire est nulle, comme le montre l'exercice 28.