ExerciceTerminale, chapitre 9 — Fonctions trigonométriques · Dérivation et primitives

Exercice 13

Lecture graphiqueCalcul

Dans chaque cas, déterminer une équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ .

a) $f(x)=\sin(x)$ et $a=0$

b) $f(x)=\cos(x)$ et $a=0$

c) $f(x)=\sin(x)$ et $a=\dfrac{\pi}{2}$

d) $f(x)=\cos(2x)$ et $a=\dfrac{\pi}{4}$

e) $f(x)=x\sin(x)$ et $a=\pi$

Que remarque-t-on pour les questions b) et c) ? Interpréter graphiquement.

Corrigé

On utilise $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ .

\begin{array}{|c||c|c|c|c|} \hline & f(x) & a & f(a)\text{ \; ; \; }f'(a) & \text{Tangente} \\ \hline \text{a)} & \sin(x) & 0 & 0\text{ \; ; \; }1 & y=x \\ \hline \text{b)} & \cos(x) & 0 & 1\text{ \; ; \; }0 & y=1 \\ \hline \text{c)} & \sin(x) & \frac{\pi}{2} & 1\text{ \; ; \; }0 & y=1 \\ \hline \text{d)} & \cos(2x) & \frac{\pi}{4} & 0\text{ \; ; \; }-2 & y=-2x+\frac{\pi}{2} \\ \hline \text{e)} & x\sin(x) & \pi & 0\text{ \; ; \; }-\pi & y=-\pi x+\pi^{2} \\ \hline \end{array}

Détail de d) : $f'(x)=-2\sin(2x)$ , donc $f'\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=-2\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=-2$ , et $f\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0$ .

Détail de e) : $f'(x)=\sin(x)+x\cos(x)$ , donc $f'(\pi)=0+\pi\times(-1)=-\pi$ .

Les questions b) et c) donnent la même tangente $y=1$ : $\boxed{\text{Les deux courbes admettent une tangente horizontale, car elles y atteignent leur maximum}}$ C'est cohérent avec le fait qu'en un extremum, le nombre dérivé s'annule.

Énoncé PDF, p. 4 Corrigé PDF, p. 8 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Zéros, périodes et paramétrage du cercle L'équation y″ + y = 0, formules d'addition et périodicité Développement limité à l'ordre 1 et continuité

Thèmes

cosinus et sinus, lecture graphique, fonction composée, tangente, équations trigonométriques

Notions

π, composée, cosinus et sinus