Exercice 12

a) Produit $u=x$ et $v=\cos(x)$ : $$f'(x)=1\times\cos(x)+x\times\left(-\sin(x)\right)=\boxed{\cos(x)-x\sin(x)}$$

b) Produit $u=\sin(x)$ et $v=\cos(x)$ : $$f'(x)=\cos(x)\times\cos(x)+\sin(x)\times\left(-\sin(x)\right) =\boxed{\cos^{2}(x)-\sin^{2}(x)}$$ On reconnaît $\cos(2x)$.

c) Composée : $f=u^{2}$ avec $u=\sin(x)$, donc $f'=2u'u$ : $$f'(x)=2\cos(x)\sin(x)=\boxed{2\sin(x)\cos(x)}$$ On reconnaît $\sin(2x)$.

d) Quotient $u=\sin(x)$ et $v=x$ : $$f'(x)=\frac{\cos(x)\times x-\sin(x)\times 1}{x^{2}} =\boxed{\frac{x\cos(x)-\sin(x)}{x^{2}}}$$

e) Composée : $f=\dfrac{1}{v}$ avec $v=2+\cos(x)$, donc $f'=-\dfrac{v'}{v^{2}}$ : $$f'(x)=-\frac{-\sin(x)}{\left(2+\cos(x)\right)^{2}} =\boxed{\frac{\sin(x)}{\left(2+\cos(x)\right)^{2}}}$$

f) Composée : $f=\mathrm{e}^{u}$ avec $u=\sin(x)$, donc $f'=u'\mathrm{e}^{u}$ : $$\boxed{f'(x)=\cos(x)\,\mathrm{e}^{\sin(x)}}$$