Exercice 41

Partie A. Pour $n\geqslant 1$, notons $\mathcal{P}_{n}$ la propriété « $u_{n}=2\cos\left(\frac{\pi}{2^{n+1}}\right)$ ».

Initialisation : $2\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)=2\times\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}=u_{1}$.

Hérédité : si $\mathcal{P}_{n}$ est vraie, alors, avec $1+\cos(2a)=2\cos^{2}(a)$ et $a=\frac{\pi}{2^{n+2}}$ : $$u_{n+1}=\sqrt{2+2\cos\left(\frac{\pi}{2^{n+1}}\right)}=\sqrt{4\cos^{2}\left(\frac{\pi}{2^{n+2}} \right)}=2\left|\cos\left(\frac{\pi}{2^{n+2}}\right)\right|=2\cos\left(\frac{\pi}{2^{n+2}}\right)$$ puisque $\frac{\pi}{2^{n+2}}\in\left]0\,;\frac{\pi}{2}\right[$, où le cosinus est positif.

Conclusion : $\boxed{u_{n}=2\cos\left(\dfrac{\pi}{2^{n+1}}\right)}$ pour tout $n\geqslant 1$.

Partie B. Montrons par récurrence que $2^{n}\sin\left(\frac{x}{2^{n}}\right) P_{n}(x)=\sin(x)$ pour tout $n\geqslant 1$. Pour $n=1$, c'est la formule de duplication $2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin(x)$. Si l'égalité est vraie au rang $n$, alors, comme $P_{n+1}(x)=P_{n}(x)\cos\left(\frac{x}{2^{n+1}}\right)$ et $2\sin\left(\frac{x}{2^{n+1}}\right)\cos\left(\frac{x}{2^{n+1}}\right)=\sin\left(\frac{x}{2^{n}} \right)$ : $$2^{n+1}\sin\left(\frac{x}{2^{n+1}}\right)P_{n+1}(x)=2^{n}\sin\left(\frac{x}{2^{n}}\right) P_{n}(x)=\sin(x)$$ Enfin, $\sin\left(\frac{x}{2^{n}}\right)\neq 0$, sans quoi $\frac{x}{2^{n}}$, donc $x$, serait un multiple de $\pi$. $$\boxed{P_{n}(x)=\frac{\sin(x)}{2^{n}\sin\left(\frac{x}{2^{n}}\right)}}$$

Partie C

1. Posons $h=\frac{x}{2^{n}}$, qui tend vers $0$. Alors $2^{n}\sin\left(\frac{x}{2^{n}}\right) =x\times\frac{\sin(h)}{h}$ tend vers $x\times 1=x$, d'après la proposition 3 du cours. $$\boxed{\lim_{n\to+\infty}P_{n}(x)=\frac{\sin(x)}{x}}$$

2. D'après la partie A, $\frac{u_{k}}{2}=\cos\left(\frac{\pi}{2^{k+1}}\right) =\cos\left(\frac{\pi/2}{2^{k}}\right)$, donc $\frac{v_{n}}{2^{n}}=\frac{u_{1}}{2}\times\cdots\times\frac{u_{n}}{2}=P_{n}\left(\frac{\pi}{2} \right)$, et la question 1 donne $$\boxed{\lim_{n\to+\infty}\frac{v_{n}}{2^{n}}=\frac{\sin(\pi/2)}{\pi/2}=\frac{2}{\pi}}$$

Vérification numérique :

alors que $\frac{2}{\pi}\approx 0{,}636\,620$ : la convergence est très rapide.

Remarque. En écrivant le résultat sous la forme $\frac{2}{\pi}=\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\times \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}\times\cdots$, on obtient la formule publiée par Viète en 1593, l'une des premières expressions de $\pi$ comme limite d'un calcul infini.