Exercice 42

1. $W_{0}=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}1\,\mathrm{d}t=\boxed{\frac{\pi}{2}}$ et $W_{1}=\Big[\sin(t)\Big]_{0}^{\pi/2}=\boxed{1}$.

2. Posons $u(t)=\cos^{n+1}(t)$ et $v(t)=\sin(t)$ ; alors $u'(t)=-(n+1)\sin(t)\cos^{n}(t)$ et $v'(t)=\cos(t)$. Comme $u\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$ et $v(0)=0$, le crochet est nul et $$W_{n+2}=\int_{0}^{\pi/2}u(t)v'(t)\,\mathrm{d}t=-\int_{0}^{\pi/2}u'(t)v(t)\,\mathrm{d}t =(n+1)\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}(t)\cos^{n}(t)\,\mathrm{d}t$$ Avec $\sin^{2}(t)=1-\cos^{2}(t)$ et la linéarité : $W_{n+2}=(n+1)\left(W_{n}-W_{n+2}\right)$, soit $(n+2)W_{n+2}=(n+1)W_{n}$. $$\boxed{W_{n+2}=\frac{n+1}{n+2}\,W_{n}}$$

3. Comme $W_{0}>0$, $W_{1}>0$ et que $W_{n+2}$ est le produit de $W_{n}$ par un nombre strictement positif, une récurrence de deux en deux montre que $W_{n}>0$ pour tout $n$. En appliquant la relation de proche en proche : $$\boxed{W_{2k}=\frac{1\times 3\times\cdots\times(2k-1)}{2\times 4\times\cdots\times(2k)}\times \frac{\pi}{2}\qquad W_{2k+1}=\frac{2\times 4\times\cdots\times(2k)}{3\times 5\times\cdots\times(2k+1)}}$$ Avec les factorielles du chapitre 7, $2\times 4\times\cdots\times(2k)=2^{k}k!$, et l'on obtient $W_{2k}=\binom{2k}{k}\frac{1}{4^{k}}\times\frac{\pi}{2}$ : le coefficient binomial central de l'exercice 34 du chapitre 7 apparaît.

4. Sur $\left[0\,;\frac{\pi}{2}\right]$, $0\leqslant\cos(t)\leqslant 1$, donc $\cos^{n+1}(t)\leqslant\cos^{n}(t)$. En intégrant : $\boxed{W_{n+1}\leqslant W_{n}}$.

5. La question 4 au rang $n+1$ donne $W_{n+2}\leqslant W_{n+1}$, c'est-à-dire, d'après la question 2 : $$\boxed{\frac{n+1}{n+2}\,W_{n}\leqslant W_{n+1}}$$

6. En divisant par $W_{n}>0$ : $\dfrac{n+1}{n+2}\leqslant\dfrac{W_{n+1}}{W_{n}}\leqslant 1$. Le membre de gauche tend vers $1$, et le théorème des gendarmes donne $\boxed{\dfrac{W_{n+1}}{W_{n}}\longrightarrow 1}$.

7. D'après la question 3, en simplifiant les facteurs communs : $$\frac{W_{2k+1}}{W_{2k}}=\frac{\big(2\times 4\times\cdots\times(2k)\big)^{2}} {\big(3\times 5\times\cdots\times(2k-1)\big)^{2}\times(2k+1)}\times\frac{2}{\pi}$$ Ce quotient tend vers $1$ d'après la question 6, donc $$\boxed{\left(\frac{2\times 4\times\cdots\times(2k)}{3\times 5\times\cdots\times(2k-1)}\right)^{2} \times\frac{1}{2k+1}\longrightarrow\frac{\pi}{2}}$$ Vérification numérique : cette quantité vaut environ $1{,}533\,9$ pour $k=10$, $1{,}566\,9$ pour $k=100$ et $1{,}570\,4$ pour $k=1\,000$, alors que $\frac{\pi}{2}\approx 1{,}570\,8$.

Remarque. Ce résultat, obtenu par Wallis au milieu du XVIIᵉ siècle, exprime $\pi$ à l'aide de seuls nombres entiers. La convergence est lente, à l'opposé de la formule de Viète de l'exercice 41. Combinée à la question 3, elle donne une estimation précise du coefficient binomial central, $\binom{2k}{k}\approx\frac{4^{k}}{\sqrt{\pi k}}$, bien plus fine que l'encadrement de l'exercice 34 du chapitre 7.