Exercice 19

1. Pour tout réel $x$ : $$f(x+\pi)=\cos\big(2(x+\pi)\big)=\cos\big(2x+2\pi\big)=\cos(2x)=f(x)$$

2. $$f(-x)=\cos(-2x)=\cos(2x)=f(x) \qquad \Longrightarrow \qquad \boxed{f \text{ est paire}}$$

3. La périodicité permet de se limiter à un intervalle de longueur $\pi$, par exemple $\left[-\dfrac{\pi}{2}\,;\dfrac{\pi}{2}\right]$. La parité permet de diviser encore cet intervalle par deux. $$\boxed{\text{Il suffit d'étudier } f \text{ sur } \left[0\,;\frac{\pi}{2}\right]}$$ On complète ensuite par symétrie par rapport à l'axe des ordonnées sur $\left[-\dfrac{\pi}{2}\,;\dfrac{\pi}{2}\right]$, puis par translations de vecteur $\pi\,\vec{\imath}$ sur $\mathbb{R}$.

4. $f'(x)=-2\sin(2x)$. Sur $\left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right]$, le réel $2x$ décrit $[0\,;\pi]$, intervalle sur lequel le sinus est positif. Donc $f'(x)\leqslant 0$.

5.

En bleu pétrole la portion réellement étudiée, en gris tout le reste, obtenu sans aucun calcul supplémentaire.