Exercice 38

1. Notons $c=\cos(x)$. Avec $\cos(2x)=2c^{2}-1$ : $$2\cos(2x)+4\cos(x)+3=4c^{2}-2+4c+3=4c^{2}+4c+1=(2c+1)^{2}\geqslant 0$$ Il y a égalité si et seulement si $\cos(x)=-\frac{1}{2}$. $$\boxed{2\cos(2x)+4\cos(x)+3\geqslant 0,\ \text{avec égalité si et seulement si } x=\pm\frac{2\pi}{3}+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}}$$

2. Notons $c=\cos^{2}(x)$ et $s=\sin^{2}(x)$, de sorte que $c+s=1$. D'après l'identité $(c+s)^{3}=c^{3}+s^{3}+3cs(c+s)$ : $$\cos^{6}(x)+\sin^{6}(x)=c^{3}+s^{3}=1-3cs=1-3\big(\sin(x)\cos(x)\big)^{2} =1-\frac{3}{4}\sin^{2}(2x)$$ Enfin, $\cos(2a)=1-2\sin^{2}(a)$ appliquée à $a=2x$ donne $\sin^{2}(2x)=\frac{1-\cos(4x)}{2}$, d'où $$\cos^{6}(x)+\sin^{6}(x)=1-\frac{3}{8}\big(1-\cos(4x)\big)=\frac{5}{8}+\frac{3}{8}\cos(4x)$$ et $f_{\lambda}(x)=\frac{5}{8}+\left(\frac{3}{8}-\lambda\right)\cos(4x)$. Si $\lambda=\frac{3}{8}$, la fonction est constante, égale à $\frac{5}{8}$. Sinon, elle prend des valeurs différentes en $x=0$ et $x=\frac{\pi}{4}$, où $\cos(4x)$ vaut $1$ et $-1$. $$\boxed{f_{\lambda} \text{ est constante si et seulement si } \lambda=\frac{3}{8} \text{ ; elle vaut alors } \frac{5}{8}.}$$ Vérification : en $x=0$, $1+0-\frac{3}{8}=\frac{5}{8}$ ; en $x=\frac{\pi}{4}$, $\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{3}{8}=\frac{5}{8}$.

Remarque. Dans les deux questions, la clé est d'écrire l'expression à l'aide d'une seule quantité ($\cos(x)$ dans la première, $\cos(4x)$ dans la seconde). On peut aussi traiter la question 2 en dérivant, puisque $f_{\lambda}$ est constante si et seulement si sa dérivée est nulle, mais le calcul est nettement plus long.