Exercice 37

1. Comme $\frac{T}{T'}$ est un rationnel strictement positif, on peut écrire $\frac{T}{T'}=\frac{p}{q}$ avec $p$ et $q$ entiers strictement positifs, d'où $qT=pT'$. Posons $S=qT=pT'>0$. En appliquant $q$ fois la $T$-périodicité de $f$ (récurrence immédiate), on obtient $f(x+S)=f(x+qT)=f(x)$ ; de même, $g(x+S)=g(x+pT')=g(x)$. $$\boxed{f+g \text{ est périodique, de période } S=qT=pT'.}$$ Exemple : $x\mapsto\cos(2x)+\sin(3x)$ est somme de fonctions de périodes $\pi$ et $\frac{2\pi}{3}$, de rapport $\frac{3}{2}$ ; elle est $2\pi$-périodique.

2. (a) Comme $\cos(x)\leqslant 1$ et $\cos(\alpha x)\leqslant 1$, on a $f(x)=2$ si et seulement si $\cos(x)=1$ et $\cos(\alpha x)=1$, c'est-à-dire s'il existe deux entiers $k$ et $m$ tels que $x=2k\pi$ et $\alpha x=2m\pi$. Si $x\neq 0$, alors $k\neq 0$ et $\alpha=\frac{\alpha x}{x}=\frac{2m\pi}{2k\pi}=\frac{m}{k}$ serait rationnel, ce qui est exclu. Donc $x=0$, et l'on vérifie que $f(0)=2$. $$\boxed{f(x)=2\iff x=0}$$

(b) Supposons $f$ périodique, de période $T>0$. Alors $f(T)=f(0+T)=f(0)=2$, donc $T=0$ d'après la question précédente : c'est absurde. $$\boxed{f \text{ n'est pas périodique.}}$$

Pour $\alpha=\sqrt{2}$, cette courbe ressemble à une courbe périodique, et s'approche par moments de la valeur $2$ (en ocre, $f\approx 1{,}967$ pour $x\approx 31{,}2$), mais elle n'atteint cette valeur qu'en $0$ et ne se répète jamais exactement.

Remarque. La somme de deux fonctions périodiques n'est donc pas toujours périodique : l'hypothèse sur le rapport des périodes est essentielle. Une fonction comme $\cos(x)+\cos(\sqrt{2}\,x)$ est dite presque périodique ; elle s'approche de $2$ d'aussi près qu'on veut (on trouve $f\approx 1{,}999$ vers $x\approx 182{,}2$) sans jamais l'atteindre.