Exercice 36

L'équation s'écrit $y'=-3y+\sin(x)$. Comme au chapitre 8 (exercices 28 et 31), si $\varphi$ est une solution particulière, les solutions sont les fonctions $\varphi+K\mathrm{e}^{-3x}$, $K\in\mathbb{R}$.

Cherchons $\varphi(x)=a\sin(x)+b\cos(x)$. Alors $\varphi'(x)=a\cos(x)-b\sin(x)$ et $$\varphi'(x)+3\varphi(x)=(3a-b)\sin(x)+(a+3b)\cos(x)$$ Si cette quantité vaut $\sin(x)$ pour tout réel $x$, on obtient en $x=\frac{\pi}{2}$ l'égalité $3a-b=1$, et en $x=0$ l'égalité $a+3b=0$. Ce système donne $a=\frac{3}{10}$ et $b=-\frac{1}{10}$. Réciproquement, ces valeurs conviennent pour tout $x$. $$\boxed{f(x)=\frac{3\sin(x)-\cos(x)}{10}+K\mathrm{e}^{-3x},\qquad K\in\mathbb{R}}$$ Vérification : pour $K=0$, $f'(x)+3f(x)=\frac{3\cos(x)+\sin(x)}{10}+\frac{9\sin(x)-3\cos(x)}{10}=\sin(x)$.

Interprétation. Quand $x\to+\infty$, le terme $K\mathrm{e}^{-3x}$ tend vers $0$ : toutes les solutions finissent par se confondre avec la solution périodique $\varphi$. En physique, on parle de régime transitoire pour $K\mathrm{e}^{-3x}$ et de régime permanent pour $\varphi$ ; c'est ce qu'on observe par exemple dans un circuit électrique soumis à une tension sinusoïdale.