AnnalesBaccalauréat

Bac Métropole Terminale 2023 — Jour 2, 21 mars 2023 (Métropole, Antilles-Guyane)

QCM de probabilités conditionnelles et loi binomiale, suites géométrique et logistique, plans perpendiculaires et projetés orthogonaux, fonction $\ln(1 + \mathrm{e}^{-x})$ et convexité · 5 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice est un QCM sur un jeu vidéo à deux mondes : probabilité d'une intersection, probabilité conditionnelle $P_B(G)$ obtenue par les probabilités totales, puis loi binomiale de paramètres $10$ et $\frac{12}{25}$ . Le deuxième exercice modélise une population d'insectes, d'abord par la suite géométrique $u_n = 0{,}1 \times 1{,}6^n$ , puis par la suite $v_{n+1} = 1{,}6v_n - 1{,}6v_n^2$ , dont il montre par récurrence la monotonie et le majorant $\frac{1}{2}$ , détermine la limite comme point fixe de $f$ et étudie un programme Python de seuil. Le troisième exercice montre que deux plans sont perpendiculaires et se coupent selon une droite $\Delta$ , minimise la distance $AM_t = \sqrt{2t^2 - 8t + 11}$ pour en déduire $AH = \sqrt{3}$ , où $H$ est le projeté de $A$ sur $\Delta$ , calcule le projeté de $A$ sur $P_1$ et montre que $AH_1HH_2$ est un rectangle. Le quatrième exercice étudie $f(x) = \ln(1 + \mathrm{e}^{-x})$ (limites, asymptote, variations, convexité, position par rapport à la tangente en 0) et montre que la corde $(M_aN_a)$ est parallèle à cette tangente.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — QCM : probabilités conditionnelles et loi binomiale p. 1–2

Conditionnement et indépendance · Lois de Bernoulli et binomiale · Probabilités totales et formule de Bayes — arbre pondéré, probabilités totales, $P_B(G)$ , loi binomiale, probabilité d'au moins un succès, tirage avec remise

Exercice 2 — Suite géométrique puis suite récurrente $v_{n+1} = f(v_n)$ : récurrence, convergence et algorithme de seuil p. 2–3

Suites numériques · Suites arithmétiques et géométriques · Informatique et algorithmique · Fonctions exponentielle et logarithme — suite géométrique, $v_{n+1} = 1{,}6v_n - 1{,}6v_n^2$ , raisonnement par récurrence, suite croissante majorée, point fixe, algorithme de seuil

Exercice 3 — Plans perpendiculaires, droite d'intersection, projetés orthogonaux et rectangle $AH_1HH_2$ p. 3–4

Géométrie vectorielle dans l'espace · Second degré — plans perpendiculaires, vecteur normal, intersection de deux plans, projeté orthogonal, distance minimale, représentation paramétrique, rectangle

Exercice 4 — Fonction $\ln(1 + \mathrm{e}^{-x})$ : limites, variations, convexité et tangente p. 4–5

Dérivabilité · Fonctions convexes · Fonctions exponentielle et logarithme · Limites de fonctions et asymptotes — $f(x) = \ln(1 + \mathrm{e}^{-x})$ , asymptote horizontale, tangente en 0, fonction convexe, position courbe tangente, $f(x) - f(-x) = -x$ , droites parallèles

Dans l'édifice

Indépendance d'événements et de tribus Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Théorème de définition par récurrence Exponentielle et logarithme Espaces vectoriels et sous-espaces Anneaux de polynômes Dérivabilité Limite d'une fonction en un point