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Centrale-Supélec PC 2020 — Maths 1

Étude de certaines matrices symplectiques · 4 pages

Le problème définit les matrices symplectiques, qui vérifient $M^\top J_n M = J_n$ , et la forme bilinéaire alternée $\varphi(X, Y) = X^\top J_n Y$ . Après le cas $2 \times 2$ (symplectique équivaut à déterminant $1$ ) et l'étude des colonnes d'une matrice orthogonale et symplectique, il montre qu'une matrice symétrique symplectique se diagonalise dans une base orthonormée et symplectique avec des valeurs propres deux à deux inverses. Il établit enfin une réduction par blocs des matrices antisymétriques et symplectiques, avec deux exemples numériques en taille 4.

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie I — Cas des matrices de taille $2 \times 2$ p. 1–2

Groupe symplectique · Matrices orthogonales et rotations · Diagonalisation · Déterminants · Théorème spectral · Matrices par blocs — matrice symplectique, matrice $J_n$ , déterminant égal à $1$ , matrice orthogonale, valeurs propres inverses

Partie II — Cas des matrices symplectiques et orthogonales p. 2

Groupe symplectique · Formes bilinéaires et quadratiques · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Matrices orthogonales et rotations · Dualité — forme bilinéaire alternée, forme antisymétrique, orthogonal symplectique, base orthonormée, matrice orthogonale et symplectique

Partie III — Quelques généralités sur les matrices symplectiques p. 2

Groupe symplectique · Groupes de matrices · Déterminants — groupe symplectique, déterminant, inverse, produit de matrices symplectiques

Partie IV — Réduction des matrices symétriques et symplectiques p. 3

Théorème spectral · Groupe symplectique · Sous-espaces stables · Procédé de Gram-Schmidt · Diagonalisation — matrice symétrique et symplectique, sous-espaces propres, valeurs propres inverses, base orthonormée symplectique, diagonalisation explicite en dimension 4

Partie V — Étude du cas des matrices antisymétriques p. 3–4

Sous-espaces stables · Groupe symplectique · Théorème spectral · Matrices orthogonales et rotations · Matrices par blocs · Diagonalisation — matrice antisymétrique, réduction par blocs, sous-espace stable et son orthogonal, valeurs propres de $M^2$ , décomposition en somme directe orthogonale

Dans l'édifice

Le groupe linéaire et l'inversion des matrices Groupes de Lie et groupes de matrices Matrices d'une application linéaire Déterminant d'un endomorphisme Formes multilinéaires alternées Espaces de Hilbert et théorème de projection Espace dual Théorème de représentation de Riesz Théorème de Cartan-von Neumann Applications linéaires