AnnalesÉcoles d'ingénieurs

Centrale-Supélec PSI 2011 — Maths 2

Représentation connaissant les distances mutuelles · 4 pages

PDF hébergé hors du site officiel — source : vmaths.fr

Le problème étudie le positionnement multidimensionnel : à partir de la matrice $M$ des carrés des distances mutuelles de $n$ points centrés, la relation de Torgerson ${}^t\!U U = -\Phi(M)/2$ , où $\Phi(M) = PMP$ est le centrage, permet de retrouver les produits scalaires, et une matrice symétrique à diagonale nulle est une matrice de distances au carré si et seulement si $\Phi(M)$ a ses valeurs propres négatives ou nulles. Il traite l'exemple de quatre points $AB = BC = CD = DA = 1$ , $AC = a$ , $BD = b$ (condition $a^2 + b^2 \leqslant 4$ ), puis trois façons de corriger une matrice qui n'est pas de distances : projection sur le cône $\mathcal{S}_n^+$ par moindres carrés, décalage des carrés des distances, et constante additive de Cailliez obtenue comme valeur propre d'une matrice de taille $2n$ .

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie I — Centrage de matrices p. 1

Projection orthogonale et moindres carrés · Projecteurs et trace · Calcul matriciel · Espaces préhilbertiens et euclidiens — projecteur orthogonal, produit scalaire $\operatorname{tr}({}^t\!M N)$ , matrice de centrage, matrice $J$ des $1$

Partie II — Produit scalaire à partir des distances mutuelles (relation de Torgerson) p. 1–2

Espaces préhilbertiens et euclidiens · Matrices symétriques positives · Calcul matriciel — relation de Torgerson, matrice de Gram, isobarycentre, distances mutuelles

Partie III — Condition pour qu'une matrice soit une matrice de distances mutuelles au carré p. 2

Matrices symétriques positives · Théorème spectral · Applications linéaires et rang — matrice symétrique positive, factorisation ${}^t\!U U$ , rang d'une matrice de Gram, matrice de distances euclidiennes

Partie IV — Étude d'un exemple dans l'espace $\mathbb{R}^3$ p. 2–3

Géométrie affine et euclidienne · Diagonalisation · Matrices symétriques positives — quadrilatère gauche, perpendiculaire commune, points coplanaires, vecteurs propres, rang

Partie V — Cas où il n'existe pas de points représentant une matrice de distances mutuelles p. 3–4

Matrices symétriques positives · Extrema et optimisation · Quotient de Rayleigh et Courant-Fischer · Matrices orthogonales et rotations · Compacité · Théorème spectral · Sous-espaces stables — moindres carrés, projection sur le cône des matrices positives, constante additive de Cailliez, positionnement multidimensionnel, quotient de Rayleigh, valeur propre minimale

Dans l'édifice

Espaces de Hilbert et théorème de projection Applications linéaires Théorème du rang Matrices d'une application linéaire Théorème de représentation de Riesz Espaces vectoriels et sous-espaces Applications différentiables Le groupe linéaire et l'inversion des matrices Compacité