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Mines-Ponts MP 2021 — Maths 1

Théorème de De Moivre-Laplace · 5 pages

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Pour $X_n$ de loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$ , le sujet étudie d'abord la probabilité modale $p_n = P(X_n = \lceil np - q \rceil)$ et montre à l'aide de la formule de Stirling que la suite $\sqrt{npq}\, p_n$ converge. Il établit ensuite le théorème de De Moivre-Laplace : pour la variable centrée réduite $Y_n$ , $P(a \leqslant Y_n \leqslant b)$ tend vers l'intégrale de $\Phi(t) = e^{-t^2/2}/\sqrt{2\pi}$ sur $[a, b]$ , par convergence de fonctions en escalier et convergence dominée, puis en déduit la valeur de l'intégrale de Gauss et une généralisation à $\varphi \circ Y_n$ .

Le sujet, partie par partie

Notations, résultats préliminaires et étude asymptotique d'une suite p. 2–3

Formule de Stirling · Lois de Bernoulli et binomiale · Équivalents et comparaison · Développements limités · Intégrales généralisées et intégrabilité — formule de Stirling, mode de la loi binomiale, partie entière, fonction $\zeta(x) = (x+1)\ln(x+1)$ , développement limité

Convergence en loi p. 3–5

Théorème central limite et convergence en loi · Lois de Bernoulli et binomiale · Convergence dominée · Loi normale et vecteurs gaussiens · Développements limités · Équivalents et comparaison — théorème de De Moivre-Laplace, variable centrée réduite, fonction en escalier, convergence simple, densité gaussienne

Applications et généralisation p. 5

Loi normale et vecteurs gaussiens · Théorème central limite et convergence en loi · Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev · Intégrales généralisées et intégrabilité · Dérivabilité — intégrale de Gauss, inégalité de Bienaymé-Tchebychev, changement de variable, fonction de répartition limite

Dans l'édifice

Intégrale de Riemann Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Suites réelles et limites Dérivabilité Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Théorème central limite (méthode de Lindeberg)Théorème de convergence dominée La loi normale Espérance, variance et inégalités