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AnnalesÉcoles d'ingénieurs

Mines-Ponts PC 2015 — Maths 2

Suites de Lucas · 6 pages

Sujet (PDF)

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À partir des matrices R(λ)=J+(λ+1/2)IR(\lambda) = J + (\lambda + 1/2)I, où JJ est une matrice de taille 2 non multiple de II vérifiant J2=(5/4)IJ^2 = (5/4)I, le sujet exploite la « formule de Moivre » admise R(λ)n=Fn(λ)J+(1/2)Ln(λ)IR(\lambda)^n = F_n(\lambda)J + (1/2)L_n(\lambda)I, qui exprime les puissances à l'aide des suites de Fibonacci et de Lucas généralisées : il établit la relation R(λ)2=(1+2λ)R(λ)+(1−λ−λ2)IR(\lambda)^2 = (1 + 2\lambda)R(\lambda) + (1 - \lambda - \lambda^2)I, calcule R(λ)−1R(\lambda)^{-1} et étend la formule aux exposants négatifs. Il en déduit des identités remarquables (sommes, suite géométrique de déterminants, valeurs de FF et LL en Lk−1/LkL_{k-1}/L_k) et termine en construisant une loi de probabilité à partir des nombres de Lucas.

Le sujet, partie par partie

Résultats admis et Partie I — Préliminaires p. 2–3

Suites récurrentes linéaires · Calcul matriciel · Espaces vectoriels et dimension — suite de Fibonacci, suite de Lucas, matrice JJ telle que J2=5I/4J^2 = 5I/4, indépendance linéaire

Partie II — Formule de Moivre généralisée p. 3

Polynômes d'endomorphismes · Suites récurrentes linéaires · Calcul matriciel · Polynômes — polynôme annulateur, division euclidienne, inverse d'une matrice, puissances d'une matrice, formule de Moivre

Partie III — Quelques identités remarquables p. 4–5

Suites récurrentes linéaires · Calcul matriciel · Déterminants — identités de Fibonacci, nombres de Lucas, suite géométrique, déterminant 2×22\times 2, sommes pondérées par puissances de λ2+λ−1\lambda^2 + \lambda - 1, polynôme PP

Partie IV — Une touche de probabilités p. 6

Espaces probabilisés · Suites récurrentes linéaires — loi de probabilité finie, nombres de Lucas, somme de probabilités égale à 1

Dans l'édifice

Suites réelles et limitesMatrices d'une application linéaireEspaces vectoriels et sous-espacesFamilles libres, génératrices, basesDimension d'un espace vectorielSommes directes, supplémentaires, projecteursApplications linéairesAnneaux de polynômesDéterminant d'un endomorphismeFormes multilinéaires alternéesEspaces probabilisés et probabilités conditionnelles
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