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Mines-Ponts PC 2023 — Maths 2

Chaîne de Markov en temps continu · 5 pages

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Pour une matrice stochastique $K$ , on étudie $H_t = e^{-t}\sum t^n K^n/n!$ , noyau de Markov vérifiant $H_{t+s} = H_t H_s$ , que l'on interprète comme une chaîne dont le nombre de sauts suit une loi de Poisson de paramètre $t$ . Lorsque $K$ est réversible pour une probabilité $\pi$ et que $1$ est valeur propre simple, le théorème spectral pour le produit scalaire pondéré par $\pi$ donne $|H_t[i,j] - \pi[j]| \leqslant e^{-\lambda t}\sqrt{\pi[j]/\pi[i]}$ , où $\lambda$ est la plus petite valeur propre non nulle de $I-K$ , d'où la convergence de $H_t[i,j]$ vers $\pi[j]$ .

Le sujet, partie par partie

Notations et préliminaires p. 2–3

Matrices stochastiques et bistochastiques · Exponentielle de matrices · Familles sommables et produit de Cauchy — noyau de Markov, matrice stochastique, produit de Cauchy, série exponentielle de matrices

Partie 1 — Modélisation probabiliste p. 3

Chaînes de Markov · Loi de Poisson · Conditionnement et indépendance — chaîne de Markov, probabilité de transition, nombre de sauts de loi de Poisson

Partie 2 — Étude d'un endomorphisme autoadjoint p. 4

Théorème spectral · Projection orthogonale et moindres carrés · Quotient de Rayleigh et Courant-Fischer — endomorphisme autoadjoint, produit scalaire pondéré, valeur propre simple

Partie 3 — Convergence de $H_t$ vers la loi réversible p. 4–5

Chaînes de Markov · Théorème spectral · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Équations différentielles linéaires · Exponentielle de matrices — probabilité réversible, loi stationnaire, trou spectral, vitesse de convergence exponentielle

Dans l'édifice

Matrices d'une application linéaire L'exponentielle, difféomorphisme local en 0 Sous-groupes à un paramètre de GLₙ La demi-droite achevée et les sommes positives Indépendance d'événements et de tribus Lois de Poisson et loi exponentielle Espaces de Hilbert et théorème de projection Théorème de représentation de Riesz Systèmes linéaires et exponentielle de matrices