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Mines-Ponts PC 2026 — Maths 1
Le sujet réduit d'abord les endomorphismes tels que (trace nulle, rang au plus , forme par blocs), puis montre que les sommes de tels endomorphismes sont exactement les endomorphismes de trace nulle. Il admet le théorème de Wang-Wu, qui caractérise les sommes de deux endomorphismes de carré nul, pour exhiber un endomorphisme de trace nulle qui n'est pas somme de trois, étudie les matrices de Hessenberg régulières et le vecteur cyclique, et aboutit à l'écriture de tout endomorphisme de trace nulle comme somme de quatre endomorphismes de carré nul.
Le sujet, partie par partie
A — Réduction des endomorphismes de carré nul p. 2–3
Nilpotents, Jordan, Dunford · Matrices par blocs · Applications linéaires et rang — endomorphisme de carré nul, trace nulle, rang, théorème du rang, forme réduite par blocs
B — Somme d'un nombre arbitraire d'endomorphismes de carré nul p. 3–4
Nilpotents, Jordan, Dunford · Calcul matriciel · Espaces vectoriels et dimension — matrices élémentaires, trace nulle, hyperplan des matrices de trace nulle
C — Somme de trois endomorphismes de carré nul p. 4–5
Nilpotents, Jordan, Dunford · Réduction des endomorphismes · Sous-espaces stables · Applications linéaires et rang — théorème de Wang-Wu, somme de deux carrés nuls, multiplicité des valeurs propres, similitude, contre-exemple
D — Matrices de Hessenberg p. 5–6
Matrices remarquables · Déterminants · Polynôme caractéristique et Cayley-Hamilton · Polynômes d'endomorphismes · Nilpotents, Jordan, Dunford · Matrices par blocs — matrice de Hessenberg régulière, mineurs, polynôme caractéristique prescrit, vecteur cyclique, similitude à
E — Somme de quatre endomorphismes de carré nul p. 6–7
Nilpotents, Jordan, Dunford · Trigonalisation · Sous-espaces stables · Matrices par blocs — matrice presque triangulaire, plan stable, trigonalisation, décomposition en somme de carrés nuls