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Mines-Ponts PSI 2016 — Maths 2

Matrices quasi-nilpotentes · 6 pages

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Une matrice est dite quasi-nilpotente si elle n'a aucune valeur propre non nulle dans $\mathbb{K}$ . Le sujet démontre que tout sous-espace vectoriel quasi-nilpotent de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ est de dimension au plus $n(n-1)/2$ , d'abord dans le cas réel en exploitant l'intersection avec les matrices symétriques, puis en général grâce au « lemme des colonnes » (il existe $j$ tel que $V$ ne contient aucune matrice non nulle à seule $j$ -ième colonne non nulle), établi par récurrence à l'aide des matrices de permutation, et à une récurrence par blocs sur la dimension.

Le sujet, partie par partie

Notations, objectifs et Partie A — Exemples p. 2–4

Réduction des endomorphismes · Espaces vectoriels et dimension · Nilpotents, Jordan, Dunford · Calcul matriciel — matrice quasi-nilpotente, matrices antisymétriques, matrices symétriques, matrices triangulaires supérieures strictes, dimension d'un sous-espace de matrices

Partie B — Cas réel p. 4

Théorème spectral · Espaces vectoriels et dimension · Réduction des endomorphismes — matrice symétrique réelle, formule de Grassmann, sous-espace quasi-nilpotent, valeurs propres réelles

Partie C — Lemme des colonnes p. 4–6

Calcul matriciel · Réduction des endomorphismes · Groupe symétrique · Matrices remarquables · Matrices par blocs · Informatique et algorithmique — lemme des colonnes, matrices de permutation, matrices élémentaires, changement de base, récurrence sur la dimension, cycle d'une application

Partie D — Cas général p. 6

Espaces vectoriels et dimension · Matrices par blocs · Applications linéaires et rang — théorème du rang, décomposition par blocs, récurrence sur la dimension, majoration de dimension

Dans l'édifice

Matrices d'une application linéaire Déterminant d'un endomorphisme Espaces vectoriels et sous-espaces Familles libres, génératrices, bases Dimension d'un espace vectoriel Sommes directes, supplémentaires, projecteurs Espaces de Hilbert et théorème de projection Groupe symétrique et signature Théorème de définition par récurrence Applications linéaires Théorème du rang