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Mines-Ponts PSI 2025 — Maths 1
Le sujet étudie les matrices complexes inversibles semblables à leur inverse. Il montre d'abord que leur polynôme caractéristique est réciproque ou antiréciproque, ce qui caractérise ces matrices dans le cas diagonalisable mais pas en général. Il prouve ensuite, à l'aide des blocs de Jordan et d'opérateurs sur les polynômes, qu'une matrice est semblable à son inverse si et seulement si elle est produit de deux matrices de symétrie.
Le sujet, partie par partie
Partie 1. Polynômes réciproques p. 2–3
Polynômes · Racines et relations coefficients-racines · Nombres complexes — polynôme réciproque, polynôme antiréciproque, racines et multiplicités, produit des racines
Partie 2. Le cas diagonalisable p. 3
Diagonalisation · Polynôme caractéristique et Cayley-Hamilton · Déterminants · Polynômes — polynôme caractéristique, matrice diagonalisable, matrices semblables, sous-espaces propres, matrice semblable à son inverse
Partie 3. Produits de matrices de symétries p. 4
Matrices par blocs · Calcul matriciel · Applications linéaires et rang — matrice de symétrie, produit de deux symétries, matrices par blocs, similitude
Partie 4. La matrice p. 5–6
Nilpotents, Jordan, Dunford · Polynômes · Applications linéaires et rang · Calcul matriciel — bloc de Jordan, endomorphisme nilpotent d'indice , opérateur de différence , symétries de , inverse d'une matrice unipotente
Partie 5. Une caractérisation des matrices semblables à leur inverse p. 6
Nilpotents, Jordan, Dunford · Réduction des endomorphismes · Matrices par blocs — réduction de Jordan, matrices semblables à leur inverse, produit de deux symétries, matrice diagonale par blocs