Exercice 29

1. (a) Si $3+\sqrt{2}$ est rationnel, alors par définition d'un nombre rationnel, il s'écrit comme un quotient de deux entiers : il existe donc $a\in\mathbb{Z}$ et $b\in\mathbb{Z}^*$ tels que $3+\sqrt{2}=\dfrac{a}{b}$.

(b) On isole alors $\sqrt{2}$ en réduisant au même dénominateur : $$\sqrt{2}=\frac{a}{b}-3=\frac{a}{b}-\frac{3b}{b} \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{\sqrt{2}=\frac{a-3b}{b}}$$

(c) Or $a-3b$ est un entier relatif et $b$ est un entier non nul : l'égalité précédente signifie que $\sqrt{2}$ est un nombre rationnel, ce qui contredit l'hypothèse de l'énoncé. L'hypothèse de départ est donc fausse : $$\boxed{3+\sqrt{2}\text{ est irrationnel}}$$

2. On raisonne de la même façon par l'absurde : supposons que $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ soit rationnel. Il existe alors $a\in\mathbb{Z}$ et $b\in\mathbb{Z}^*$ tels que $\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{a}{b}$, et en multipliant par $2$ : $$\sqrt{2}=\frac{2a}{b}$$ Or $2a$ est un entier relatif et $b$ un entier non nul, donc $\sqrt{2}$ serait rationnel, ce qui est absurde : $$\boxed{\frac{\sqrt{2}}{2}\text{ est irrationnel}}$$

3. Les nombres $\sqrt{2}$ et $2-\sqrt{2}$ sont tous deux irrationnels (le second d'après un raisonnement identique à celui de la question 1.), et pourtant : $$\boxed{\sqrt{2}+\left(2-\sqrt{2}\right)=2}$$ La somme de deux irrationnels peut donc être un entier : cela confirme que l'affirmation 6. de l'exercice 26 est bien fausse.