ExerciceSeconde, chapitre 1 — Nombres et calculs · Ensembles de nombres

Exercice 28

DémonstrationCalcul

Pour chacun des nombres suivants, déterminer le plus petit ensemble parmi $\mathbb{N}$ , $\mathbb{Z}$ , $\mathbb{D}$ , $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{R}$ auquel il appartient. On justifiera en calculant d'abord une écriture simplifiée du nombre.

a) $\sqrt{8}\times\sqrt{2}$

b) $\left(1+\sqrt{3}\right)\left(1-\sqrt{3}\right)$

c) $\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{8}}$

d) $\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{6}$

e) $\left(2+\sqrt{2}\right)+\left(2-\sqrt{2}\right)$

f) $\sqrt{2}\times\sqrt{3}$

Corrigé

On simplifie d'abord chaque écriture :

a) $\sqrt{8}\times\sqrt{2}=\sqrt{16}=4$ , donc ce nombre appartient à $\boxed{\mathbb{N}}$ .

b) $\left(1+\sqrt{3}\right)\left(1-\sqrt{3}\right)=1-\sqrt{3}+\sqrt{3}-3=-2$ , donc ce nombre appartient à $\boxed{\mathbb{Z}}$ .

c) $\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{8}}=\sqrt{\dfrac{2}{8}}=\sqrt{\dfrac{1}{4}}=\dfrac{1}{2}=0{,}5$ , donc ce nombre appartient à $\boxed{\mathbb{D}}$ .

d) $\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{4}{6}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{6}$ . Le dénominateur de cette fraction irréductible n'est pas une puissance de $10$ simplifiable ( $\frac{5}{6}=0{,}8333\ldots$ ), donc ce nombre appartient à $\boxed{\mathbb{Q}}$ .

e) $\left(2+\sqrt{2}\right)+\left(2-\sqrt{2}\right)=4$ , donc ce nombre appartient à $\boxed{\mathbb{N}}$ .

f) $\sqrt{2}\times\sqrt{3}=\sqrt{6}$ , qui est irrationnel, donc ce nombre appartient à $\boxed{\mathbb{R}}$ seulement.

Énoncé PDF, p. 7 Corrigé PDF, p. 14 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

ℚ, corps des fractions de ℤ Racine carrée d'un réel positif ℚ n'a pas la propriété de la borne supérieure ℝ

Thèmes

fractions, racines carrées, rationnels et irrationnels, ensembles de nombres

Notions

nombres rationnels (ensemble des), nombres réels (ensemble des)