Exercice 27

1. Multiplier par $10$ décale la virgule d'un rang, sans changer la partie qui se répète : $$10x=7{,}777\ldots \qquad\text{donc}\qquad 10x-x=7{,}777\ldots-0{,}777\ldots=7$$ Or $10x-x=9x$, d'où $9x=7$ : $$\boxed{x=\frac{7}{9}}$$

2. Ici c'est un bloc de deux chiffres qui se répète, on multiplie donc par $100$ : $$100y=27{,}2727\ldots \qquad\text{donc}\qquad 100y-y=27 \qquad\text{soit}\qquad 99y=27$$

3. Le chiffre $2$ ne fait pas partie de la période : on décale d'abord d'un rang, puis de deux. $$10z=12{,}333\ldots \qquad ; \qquad 100z=123{,}333\ldots$$ En soustrayant, les parties décimales disparaissent : $$100z-10z=123-12=111 \qquad\text{soit}\qquad 90z=111$$

4. Chacun de ces trois nombres s'écrit comme un quotient de deux entiers, ce sont donc des nombres rationnels. En revanche leur écriture décimale ne s'arrête pas : ils ne sont pas décimaux. $$\boxed{x,\;y\text{ et }z\text{ appartiennent à }\mathbb{Q}\text{ mais pas à }\mathbb{D}}$$